Լուծեք {l}{4a+5b=9}{2a-b=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 a + 5 b = 9 } \\ { 2 a - b = 7 } \end{array} \right.$$

Լուծել a, b-ի համար

$$a = \frac{22}{7} = 3\frac{1}{7} \approx 3.142857143$$

$$b=-\frac{5}{7}\approx -0.714285714$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$4a+5b=9,2a-b=7$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն a-ի համար՝ առանձնացնելով a-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$4a+5b=9$$

Հանեք 5b հավասարման երկու կողմից:

$$4a=-5b+9$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$a=\frac{1}{4}\left(-5b+9\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{4} անգամ -5b+9:

$$a=-\frac{5}{4}b+\frac{9}{4}$$

Փոխարինեք \frac{-5b+9}{4}-ը a-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2a-b=7:

$$2\left(-\frac{5}{4}b+\frac{9}{4}\right)-b=7$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{-5b+9}{4}:

$$-\frac{5}{2}b+\frac{9}{2}-b=7$$

Գումարեք -\frac{5b}{2} -b-ին:

$$-\frac{7}{2}b+\frac{9}{2}=7$$

Հանեք \frac{9}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{7}{2}b=\frac{5}{2}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{7}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$b=-\frac{5}{7}$$

Փոխարինեք -\frac{5}{7}-ը b-ով a=-\frac{5}{4}b+\frac{9}{4}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես a-ի համար:

$$a=-\frac{5}{4}\left(-\frac{5}{7}\right)+\frac{9}{4}$$

Բազմապատկեք -\frac{5}{4} անգամ -\frac{5}{7}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$a=\frac{25}{28}+\frac{9}{4}$$

Գումարեք \frac{9}{4} \frac{25}{28}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$a=\frac{22}{7}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$a=\frac{22}{7},b=-\frac{5}{7}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$4a+5b=9,2a-b=7$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-5\times 2}&-\frac{5}{4\left(-1\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-1\right)-5\times 2}&\frac{4}{4\left(-1\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{5}{14}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 9+\frac{5}{14}\times 7\\\frac{1}{7}\times 9-\frac{2}{7}\times 7\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{7}\\-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի a և b տարրերը:

$$a=\frac{22}{7},b=-\frac{5}{7}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$4a+5b=9,2a-b=7$$

4a-ը և 2a-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 4-ով:

$$2\times 4a+2\times 5b=2\times 9,4\times 2a+4\left(-1\right)b=4\times 7$$

Պարզեցնել:

$$8a+10b=18,8a-4b=28$$

Հանեք 8a-4b=28 8a+10b=18-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$8a-8a+10b+4b=18-28$$

Գումարեք 8a -8a-ին: 8a-ը և -8a-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$10b+4b=18-28$$

Գումարեք 10b 4b-ին:

$$14b=18-28$$

Գումարեք 18 -28-ին:

$$14b=-10$$

Բաժանեք երկու կողմերը 14-ի:

$$b=-\frac{5}{7}$$

Փոխարինեք -\frac{5}{7}-ը b-ով 2a-b=7-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես a-ի համար:

$$2a-\left(-\frac{5}{7}\right)=7$$

Հանեք \frac{5}{7} հավասարման երկու կողմից:

$$2a=\frac{44}{7}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$a=\frac{22}{7}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$a=\frac{22}{7},b=-\frac{5}{7}$$