Լուծեք {l}{4=3A-9D}{2=8A-8D}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 = 3 A - 9 D } \\ { 2 = 8 A - 8 D } \end{array} \right.$$

Լուծել A, D-ի համար

$$A=-\frac{7}{24}\approx -0.291666667$$

$$D=-\frac{13}{24}\approx -0.541666667$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Փոխանակեք կողմերը, այնպես որ բոլոր փոփոխական անդամները լինեն ձախ կողմում:

$$3A-9D=4$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Փոխանակեք կողմերը, այնպես որ բոլոր փոփոխական անդամները լինեն ձախ կողմում:

$$8A-8D=2$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3A-9D=4,8A-8D=2$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն A-ի համար՝ առանձնացնելով A-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3A-9D=4$$

Գումարեք 9D հավասարման երկու կողմին:

$$3A=9D+4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$A=\frac{1}{3}\left(9D+4\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ 9D+4:

$$A=3D+\frac{4}{3}$$

Փոխարինեք 3D+\frac{4}{3}-ը A-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 8A-8D=2:

$$8\left(3D+\frac{4}{3}\right)-8D=2$$

Բազմապատկեք 8 անգամ 3D+\frac{4}{3}:

$$24D+\frac{32}{3}-8D=2$$

Գումարեք 24D -8D-ին:

$$16D+\frac{32}{3}=2$$

Հանեք \frac{32}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$16D=-\frac{26}{3}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 16-ի:

$$D=-\frac{13}{24}$$

Փոխարինեք -\frac{13}{24}-ը D-ով A=3D+\frac{4}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես A-ի համար:

$$A=3\left(-\frac{13}{24}\right)+\frac{4}{3}$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -\frac{13}{24}:

$$A=-\frac{13}{8}+\frac{4}{3}$$

Գումարեք \frac{4}{3} -\frac{13}{8}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$A=-\frac{7}{24}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$A=-\frac{7}{24},D=-\frac{13}{24}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Փոխանակեք կողմերը, այնպես որ բոլոր փոփոխական անդամները լինեն ձախ կողմում:

$$3A-9D=4$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Փոխանակեք կողմերը, այնպես որ բոլոր փոփոխական անդամները լինեն ձախ կողմում:

$$8A-8D=2$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3A-9D=4,8A-8D=2$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}&-\frac{-9}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}\\-\frac{8}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{3}{16}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 4+\frac{3}{16}\times 2\\-\frac{1}{6}\times 4+\frac{1}{16}\times 2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{24}\\-\frac{13}{24}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի A և D տարրերը:

$$A=-\frac{7}{24},D=-\frac{13}{24}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Փոխանակեք կողմերը, այնպես որ բոլոր փոփոխական անդամները լինեն ձախ կողմում:

$$3A-9D=4$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Փոխանակեք կողմերը, այնպես որ բոլոր փոփոխական անդամները լինեն ձախ կողմում:

$$8A-8D=2$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3A-9D=4,8A-8D=2$$

3A-ը և 8A-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 8-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$8\times 3A+8\left(-9\right)D=8\times 4,3\times 8A+3\left(-8\right)D=3\times 2$$

Պարզեցնել:

$$24A-72D=32,24A-24D=6$$

Հանեք 24A-24D=6 24A-72D=32-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$24A-24A-72D+24D=32-6$$

Գումարեք 24A -24A-ին: 24A-ը և -24A-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-72D+24D=32-6$$

Գումարեք -72D 24D-ին:

$$-48D=32-6$$

Գումարեք 32 -6-ին:

$$-48D=26$$

Բաժանեք երկու կողմերը -48-ի:

$$D=-\frac{13}{24}$$

Փոխարինեք -\frac{13}{24}-ը D-ով 8A-8D=2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես A-ի համար:

$$8A-8\left(-\frac{13}{24}\right)=2$$

Բազմապատկեք -8 անգամ -\frac{13}{24}:

$$8A+\frac{13}{3}=2$$

Հանեք \frac{13}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$8A=-\frac{7}{3}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 8-ի:

$$A=-\frac{7}{24}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$A=-\frac{7}{24},D=-\frac{13}{24}$$