Լուծեք {l}{30f_{1}+40f_{2}=285}{30f_{1}+30f_{2}=+270}

$$\left. \begin{array} { l } { 30 f _ { 1 } + 40 f _ { 2 } = 285 } \\ { 30 f _ { 1 } + 30 f _ { 2 } = + 270 } \end{array} \right.$$

Լուծել f_1, f_2-ի համար

$$f_{1} = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} = 7.5$$

$$f_{2} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$30f_{1}+40f_{2}=285,30f_{1}+30f_{2}=270$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն f_{1}-ի համար՝ առանձնացնելով f_{1}-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$30f_{1}+40f_{2}=285$$

Հանեք 40f_{2} հավասարման երկու կողմից:

$$30f_{1}=-40f_{2}+285$$

Բաժանեք երկու կողմերը 30-ի:

$$f_{1}=\frac{1}{30}\left(-40f_{2}+285\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{30} անգամ -40f_{2}+285:

$$f_{1}=-\frac{4}{3}f_{2}+\frac{19}{2}$$

Փոխարինեք -\frac{4f_{2}}{3}+\frac{19}{2}-ը f_{1}-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 30f_{1}+30f_{2}=270:

$$30\left(-\frac{4}{3}f_{2}+\frac{19}{2}\right)+30f_{2}=270$$

Բազմապատկեք 30 անգամ -\frac{4f_{2}}{3}+\frac{19}{2}:

$$-40f_{2}+285+30f_{2}=270$$

Գումարեք -40f_{2} 30f_{2}-ին:

$$-10f_{2}+285=270$$

Հանեք 285 հավասարման երկու կողմից:

$$-10f_{2}=-15$$

Բաժանեք երկու կողմերը -10-ի:

$$f_{2}=\frac{3}{2}$$

Փոխարինեք \frac{3}{2}-ը f_{2}-ով f_{1}=-\frac{4}{3}f_{2}+\frac{19}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես f_{1}-ի համար:

$$f_{1}=-\frac{4}{3}\times \frac{3}{2}+\frac{19}{2}$$

Բազմապատկեք -\frac{4}{3} անգամ \frac{3}{2}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$f_{1}=-2+\frac{19}{2}$$

Գումարեք \frac{19}{2} -2-ին:

$$f_{1}=\frac{15}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$f_{1}=\frac{15}{2},f_{2}=\frac{3}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$30f_{1}+40f_{2}=285,30f_{1}+30f_{2}=270$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}30&40\\30&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f_{1}\\f_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}285\\270\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}30&40\\30&30\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}30&40\\30&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30&40\\30&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f_{1}\\f_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&40\\30&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}285\\270\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f_{1}\\f_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&40\\30&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}285\\270\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}f_{1}\\f_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&40\\30&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}285\\270\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}f_{1}\\f_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{30}{30\times 30-40\times 30}&-\frac{40}{30\times 30-40\times 30}\\-\frac{30}{30\times 30-40\times 30}&\frac{30}{30\times 30-40\times 30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}285\\270\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}f_{1}\\f_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{2}{15}\\\frac{1}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}285\\270\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}f_{1}\\f_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 285+\frac{2}{15}\times 270\\\frac{1}{10}\times 285-\frac{1}{10}\times 270\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}f_{1}\\f_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{2}\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի f_{1} և f_{2} տարրերը:

$$f_{1}=\frac{15}{2},f_{2}=\frac{3}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$30f_{1}+40f_{2}=285,30f_{1}+30f_{2}=270$$

Հանեք 30f_{1}+30f_{2}=270 30f_{1}+40f_{2}=285-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$30f_{1}-30f_{1}+40f_{2}-30f_{2}=285-270$$

Գումարեք 30f_{1} -30f_{1}-ին: 30f_{1}-ը և -30f_{1}-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$40f_{2}-30f_{2}=285-270$$

Գումարեք 40f_{2} -30f_{2}-ին:

$$10f_{2}=285-270$$

Գումարեք 285 -270-ին:

$$10f_{2}=15$$

Բաժանեք երկու կողմերը 10-ի:

$$f_{2}=\frac{3}{2}$$

Փոխարինեք \frac{3}{2}-ը f_{2}-ով 30f_{1}+30f_{2}=270-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես f_{1}-ի համար:

$$30f_{1}+30\times \frac{3}{2}=270$$

Բազմապատկեք 30 անգամ \frac{3}{2}:

$$30f_{1}+45=270$$

Հանեք 45 հավասարման երկու կողմից:

$$30f_{1}=225$$

Բաժանեք երկու կողմերը 30-ի:

$$f_{1}=\frac{15}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$f_{1}=\frac{15}{2},f_{2}=\frac{3}{2}$$