Լուծեք {l}{3x-y=10}{4x+y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - y = 10 } \\ { 4 x + y = 11 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=3$$

$$y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x-y=10,4x+y=11$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x-y=10$$

Գումարեք y հավասարման երկու կողմին:

$$3x=y+10$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(y+10\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ y+10:

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}$$

Փոխարինեք \frac{10+y}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 4x+y=11:

$$4\left(\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}\right)+y=11$$

Բազմապատկեք 4 անգամ \frac{10+y}{3}:

$$\frac{4}{3}y+\frac{40}{3}+y=11$$

Գումարեք \frac{4y}{3} y-ին:

$$\frac{7}{3}y+\frac{40}{3}=11$$

Հանեք \frac{40}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{7}{3}y=-\frac{7}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{7}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-1$$

Փոխարինեք -1-ը y-ով x=\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{10}{3}$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -1:

$$x=\frac{-1+10}{3}$$

Գումարեք \frac{10}{3} -\frac{1}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=3,y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x-y=10,4x+y=11$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&-1\\4&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{3-\left(-4\right)}&\frac{3}{3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{4}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 10+\frac{1}{7}\times 11\\-\frac{4}{7}\times 10+\frac{3}{7}\times 11\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=3,y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x-y=10,4x+y=11$$

3x-ը և 4x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$4\times 3x+4\left(-1\right)y=4\times 10,3\times 4x+3y=3\times 11$$

Պարզեցնել:

$$12x-4y=40,12x+3y=33$$

Հանեք 12x+3y=33 12x-4y=40-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$12x-12x-4y-3y=40-33$$

Գումարեք 12x -12x-ին: 12x-ը և -12x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-4y-3y=40-33$$

Գումարեք -4y -3y-ին:

$$-7y=40-33$$

Գումարեք 40 -33-ին:

$$-7y=7$$

Բաժանեք երկու կողմերը -7-ի:

$$y=-1$$

Փոխարինեք -1-ը y-ով 4x+y=11-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$4x-1=11$$

Գումարեք 1 հավասարման երկու կողմին:

$$4x=12$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=3,y=-1$$