Լուծեք {l}{3x-y+2=0}{5x-2y+1=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - y + 2 = 0 } \\ { 5 x - 2 y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-3$$

$$y=-7$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x-y+2=0,5x-2y+1=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x-y+2=0$$

Հանեք 2 հավասարման երկու կողմից:

$$3x-y=-2$$

Գումարեք y հավասարման երկու կողմին:

$$3x=y-2$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(y-2\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ y-2:

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}$$

Փոխարինեք \frac{-2+y}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 5x-2y+1=0:

$$5\left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)-2y+1=0$$

Բազմապատկեք 5 անգամ \frac{-2+y}{3}:

$$\frac{5}{3}y-\frac{10}{3}-2y+1=0$$

Գումարեք \frac{5y}{3} -2y-ին:

$$-\frac{1}{3}y-\frac{10}{3}+1=0$$

Գումարեք -\frac{10}{3} 1-ին:

$$-\frac{1}{3}y-\frac{7}{3}=0$$

Գումարեք \frac{7}{3} հավասարման երկու կողմին:

$$-\frac{1}{3}y=\frac{7}{3}$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը -3-ով:

$$y=-7$$

Փոխարինեք -7-ը y-ով x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{1}{3}\left(-7\right)-\frac{2}{3}$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -7:

$$x=\frac{-7-2}{3}$$

Գումարեք -\frac{2}{3} -\frac{7}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-3,y=-7$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x-y+2=0,5x-2y+1=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 մատրիցայի՝ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) դեպքում հակադարձ մատրիցան հետևյալն է՝ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ուստի մատրիցայի հավասարումը կարելի է վերագրել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\left(-2\right)-\left(-1\right)\\5\left(-2\right)-3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-7\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-3,y=-7$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x-y+2=0,5x-2y+1=0$$

3x-ը և 5x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$5\times 3x+5\left(-1\right)y+5\times 2=0,3\times 5x+3\left(-2\right)y+3=0$$

Պարզեցնել:

$$15x-5y+10=0,15x-6y+3=0$$

Հանեք 15x-6y+3=0 15x-5y+10=0-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$15x-15x-5y+6y+10-3=0$$

Գումարեք 15x -15x-ին: 15x-ը և -15x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-5y+6y+10-3=0$$

Գումարեք -5y 6y-ին:

$$y+10-3=0$$

Գումարեք 10 -3-ին:

$$y+7=0$$

Հանեք 7 հավասարման երկու կողմից:

$$y=-7$$

Փոխարինեք -7-ը y-ով 5x-2y+1=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$5x-2\left(-7\right)+1=0$$

Բազմապատկեք -2 անգամ -7:

$$5x+14+1=0$$

Գումարեք 14 1-ին:

$$5x+15=0$$

Հանեք 15 հավասարման երկու կողմից:

$$5x=-15$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=-3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-3,y=-7$$