Լուծեք {l}{3x-9=y}{9y+3=x}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 9 = y } \\ { 9 y + 3 = x } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=3$$

$$y=0$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք y երկու կողմերից:

$$3x-9-y=0$$

Հավելել 9-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$3x-y=9$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք x երկու կողմերից:

$$9y+3-x=0$$

Հանեք 3 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$9y-x=-3$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x-y=9,-x+9y=-3$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x-y=9$$

Գումարեք y հավասարման երկու կողմին:

$$3x=y+9$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(y+9\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ y+9:

$$x=\frac{1}{3}y+3$$

Փոխարինեք \frac{y}{3}+3-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -x+9y=-3:

$$-\left(\frac{1}{3}y+3\right)+9y=-3$$

Բազմապատկեք -1 անգամ \frac{y}{3}+3:

$$-\frac{1}{3}y-3+9y=-3$$

Գումարեք -\frac{y}{3} 9y-ին:

$$\frac{26}{3}y-3=-3$$

Գումարեք 3 հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{26}{3}y=0$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{26}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=0$$

Փոխարինեք 0-ը y-ով x=\frac{1}{3}y+3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=3,y=0$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք y երկու կողմերից:

$$3x-9-y=0$$

Հավելել 9-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$3x-y=9$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք x երկու կողմերից:

$$9y+3-x=0$$

Հանեք 3 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$9y-x=-3$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x-y=9,-x+9y=-3$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 մատրիցայի՝ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) դեպքում հակադարձ մատրիցան հետևյալն է՝ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ուստի մատրիցայի հավասարումը կարելի է վերագրել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{3\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{3\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{3\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{3}{3\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{26}&\frac{1}{26}\\\frac{1}{26}&\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{26}\times 9+\frac{1}{26}\left(-3\right)\\\frac{1}{26}\times 9+\frac{3}{26}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=3,y=0$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք y երկու կողմերից:

$$3x-9-y=0$$

Հավելել 9-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$3x-y=9$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք x երկու կողմերից:

$$9y+3-x=0$$

Հանեք 3 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$9y-x=-3$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x-y=9,-x+9y=-3$$

3x-ը և -x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$-3x-\left(-y\right)=-9,3\left(-1\right)x+3\times 9y=3\left(-3\right)$$

Պարզեցնել:

$$-3x+y=-9,-3x+27y=-9$$

Հանեք -3x+27y=-9 -3x+y=-9-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-3x+3x+y-27y=-9+9$$

Գումարեք -3x 3x-ին: -3x-ը և 3x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$y-27y=-9+9$$

Գումարեք y -27y-ին:

$$-26y=-9+9$$

Գումարեք -9 9-ին:

$$-26y=0$$

Բաժանեք երկու կողմերը -26-ի:

$$y=0$$

Փոխարինեք 0-ը y-ով -x+9y=-3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-x=-3$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$x=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=3,y=0$$