Լուծեք {l}{3x-2y=5}{2x-3y=15}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 5 } \\ { 2 x - 3 y = 15 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-3$$

$$y=-7$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x-2y=5,2x-3y=15$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x-2y=5$$

Գումարեք 2y հավասարման երկու կողմին:

$$3x=2y+5$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+5\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ 2y+5:

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

Փոխարինեք \frac{2y+5}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x-3y=15:

$$2\left(\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}\right)-3y=15$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{2y+5}{3}:

$$\frac{4}{3}y+\frac{10}{3}-3y=15$$

Գումարեք \frac{4y}{3} -3y-ին:

$$-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}=15$$

Հանեք \frac{10}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{5}{3}y=\frac{35}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{5}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-7$$

Փոխարինեք -7-ը y-ով x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{2}{3}\left(-7\right)+\frac{5}{3}$$

Բազմապատկեք \frac{2}{3} անգամ -7:

$$x=\frac{-14+5}{3}$$

Գումարեք \frac{5}{3} -\frac{14}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-3,y=-7$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x-2y=5,2x-3y=15$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\left(-3\right)-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 5-\frac{2}{5}\times 15\\\frac{2}{5}\times 5-\frac{3}{5}\times 15\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-7\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-3,y=-7$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x-2y=5,2x-3y=15$$

3x-ը և 2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 5,3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 15$$

Պարզեցնել:

$$6x-4y=10,6x-9y=45$$

Հանեք 6x-9y=45 6x-4y=10-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$6x-6x-4y+9y=10-45$$

Գումարեք 6x -6x-ին: 6x-ը և -6x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-4y+9y=10-45$$

Գումարեք -4y 9y-ին:

$$5y=10-45$$

Գումարեք 10 -45-ին:

$$5y=-35$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$y=-7$$

Փոխարինեք -7-ը y-ով 2x-3y=15-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$2x-3\left(-7\right)=15$$

Բազմապատկեք -3 անգամ -7:

$$2x+21=15$$

Հանեք 21 հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=-3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-3,y=-7$$