Լուծեք {l}{3x-2y=5}{-5-x+2y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 5 } \\ { - 5 - x + 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{19}{2} = 9\frac{1}{2} = 9.5$$

$$y = \frac{47}{4} = 11\frac{3}{4} = 11.75$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x-2y=5,-x+2y-5=9$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x-2y=5$$

Գումարեք 2y հավասարման երկու կողմին:

$$3x=2y+5$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+5\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ 2y+5:

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

Փոխարինեք \frac{2y+5}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -x+2y-5=9:

$$-\left(\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}\right)+2y-5=9$$

Բազմապատկեք -1 անգամ \frac{2y+5}{3}:

$$-\frac{2}{3}y-\frac{5}{3}+2y-5=9$$

Գումարեք -\frac{2y}{3} 2y-ին:

$$\frac{4}{3}y-\frac{5}{3}-5=9$$

Գումարեք -\frac{5}{3} -5-ին:

$$\frac{4}{3}y-\frac{20}{3}=9$$

Գումարեք \frac{20}{3} հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{4}{3}y=\frac{47}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{4}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{47}{4}$$

Փոխարինեք \frac{47}{4}-ը y-ով x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{47}{4}+\frac{5}{3}$$

Բազմապատկեք \frac{2}{3} անգամ \frac{47}{4}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=\frac{47}{6}+\frac{5}{3}$$

Գումարեք \frac{5}{3} \frac{47}{6}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{19}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{19}{2},y=\frac{47}{4}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x-2y=5,-x+2y-5=9$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 14\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{4}\times 14\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{2}\\\frac{47}{4}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{19}{2},y=\frac{47}{4}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x-2y=5,-x+2y-5=9$$

3x-ը և -x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$-3x-\left(-2y\right)=-5,3\left(-1\right)x+3\times 2y+3\left(-5\right)=3\times 9$$

Պարզեցնել:

$$-3x+2y=-5,-3x+6y-15=27$$

Հանեք -3x+6y-15=27 -3x+2y=-5-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-3x+3x+2y-6y+15=-5-27$$

Գումարեք -3x 3x-ին: -3x-ը և 3x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$2y-6y+15=-5-27$$

Գումարեք 2y -6y-ին:

$$-4y+15=-5-27$$

Գումարեք -5 -27-ին:

$$-4y+15=-32$$

Հանեք 15 հավասարման երկու կողմից:

$$-4y=-47$$

Բաժանեք երկու կողմերը -4-ի:

$$y=\frac{47}{4}$$

Փոխարինեք \frac{47}{4}-ը y-ով -x+2y-5=9-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-x+2\times \frac{47}{4}-5=9$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{47}{4}:

$$-x+\frac{47}{2}-5=9$$

Գումարեք \frac{47}{2} -5-ին:

$$-x+\frac{37}{2}=9$$

Հանեք \frac{37}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$-x=-\frac{19}{2}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$x=\frac{19}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{19}{2},y=\frac{47}{4}$$