Լուծեք {l}{3x-2y+3=0}{4x+3y-47=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y + 3 = 0 } \\ { 4 x + 3 y - 47 = 0 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=5$$

$$y=9$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x-2y+3=0,4x+3y-47=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x-2y+3=0$$

Հանեք 3 հավասարման երկու կողմից:

$$3x-2y=-3$$

Գումարեք 2y հավասարման երկու կողմին:

$$3x=2y-3$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-3\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ 2y-3:

$$x=\frac{2}{3}y-1$$

Փոխարինեք \frac{2y}{3}-1-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 4x+3y-47=0:

$$4\left(\frac{2}{3}y-1\right)+3y-47=0$$

Բազմապատկեք 4 անգամ \frac{2y}{3}-1:

$$\frac{8}{3}y-4+3y-47=0$$

Գումարեք \frac{8y}{3} 3y-ին:

$$\frac{17}{3}y-4-47=0$$

Գումարեք -4 -47-ին:

$$\frac{17}{3}y-51=0$$

Գումարեք 51 հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{17}{3}y=51$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{17}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=9$$

Փոխարինեք 9-ը y-ով x=\frac{2}{3}y-1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{2}{3}\times 9-1$$

Բազմապատկեք \frac{2}{3} անգամ 9:

$$x=6-1$$

Գումարեք -1 6-ին:

$$x=5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=5,y=9$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x-2y+3=0,4x+3y-47=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}&-\frac{-2}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\\-\frac{4}{17}&\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}\left(-3\right)+\frac{2}{17}\times 47\\-\frac{4}{17}\left(-3\right)+\frac{3}{17}\times 47\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=5,y=9$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x-2y+3=0,4x+3y-47=0$$

3x-ը և 4x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$4\times 3x+4\left(-2\right)y+4\times 3=0,3\times 4x+3\times 3y+3\left(-47\right)=0$$

Պարզեցնել:

$$12x-8y+12=0,12x+9y-141=0$$

Հանեք 12x+9y-141=0 12x-8y+12=0-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$12x-12x-8y-9y+12+141=0$$

Գումարեք 12x -12x-ին: 12x-ը և -12x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-8y-9y+12+141=0$$

Գումարեք -8y -9y-ին:

$$-17y+12+141=0$$

Գումարեք 12 141-ին:

$$-17y+153=0$$

Հանեք 153 հավասարման երկու կողմից:

$$-17y=-153$$

Բաժանեք երկու կողմերը -17-ի:

$$y=9$$

Փոխարինեք 9-ը y-ով 4x+3y-47=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$4x+3\times 9-47=0$$

Բազմապատկեք 3 անգամ 9:

$$4x+27-47=0$$

Գումարեք 27 -47-ին:

$$4x-20=0$$

Գումարեք 20 հավասարման երկու կողմին:

$$4x=20$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=5,y=9$$