Լուծեք {l}{3x+y=5}{2x+y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 5 } \\ { 2 x + y = 10 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-5$$

$$y=20$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x+y=5,2x+y=10$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x+y=5$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-y+5$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -y+5:

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

Փոխարինեք \frac{-y+5}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x+y=10:

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)+y=10$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{-y+5}{3}:

$$-\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}+y=10$$

Գումարեք -\frac{2y}{3} y-ին:

$$\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}=10$$

Հանեք \frac{10}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{1}{3}y=\frac{20}{3}$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 3-ով:

$$y=20$$

Փոխարինեք 20-ը y-ով x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{3}\times 20+\frac{5}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{3} անգամ 20:

$$x=\frac{-20+5}{3}$$

Գումարեք \frac{5}{3} -\frac{20}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-5,y=20$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x+y=5,2x+y=10$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2}&-\frac{1}{3-2}\\-\frac{2}{3-2}&\frac{3}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5-10\\-2\times 5+3\times 10\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\20\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-5,y=20$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x+y=5,2x+y=10$$

Հանեք 2x+y=10 3x+y=5-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$3x-2x+y-y=5-10$$

Գումարեք y -y-ին: y-ը և -y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$3x-2x=5-10$$

Գումարեք 3x -2x-ին:

$$x=5-10$$

Գումարեք 5 -10-ին:

$$x=-5$$

Փոխարինեք -5-ը x-ով 2x+y=10-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$2\left(-5\right)+y=10$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -5:

$$-10+y=10$$

Գումարեք 10 հավասարման երկու կողմին:

$$y=20$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-5,y=20$$