Լուծեք {l}{3x+y=0}{2x-5y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 0 } \\ { 2 x - 5 y = 6 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=\frac{6}{17}\approx 0.352941176$$

$$y = -\frac{18}{17} = -1\frac{1}{17} \approx -1.058823529$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x+y=0,2x-5y=6$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x+y=0$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-y$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(-1\right)y$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -y:

$$x=-\frac{1}{3}y$$

Փոխարինեք -\frac{y}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x-5y=6:

$$2\left(-\frac{1}{3}\right)y-5y=6$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -\frac{y}{3}:

$$-\frac{2}{3}y-5y=6$$

Գումարեք -\frac{2y}{3} -5y-ին:

$$-\frac{17}{3}y=6$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{17}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-\frac{18}{17}$$

Փոխարինեք -\frac{18}{17}-ը y-ով x=-\frac{1}{3}y-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{3}\left(-\frac{18}{17}\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{3} անգամ -\frac{18}{17}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=\frac{6}{17}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{6}{17},y=-\frac{18}{17}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x+y=0,2x-5y=6$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&1\\2&-5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-2}&-\frac{1}{3\left(-5\right)-2}\\-\frac{2}{3\left(-5\right)-2}&\frac{3}{3\left(-5\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}&\frac{1}{17}\\\frac{2}{17}&-\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}\times 6\\-\frac{3}{17}\times 6\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{17}\\-\frac{18}{17}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{6}{17},y=-\frac{18}{17}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x+y=0,2x-5y=6$$

3x-ը և 2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$2\times 3x+2y=0,3\times 2x+3\left(-5\right)y=3\times 6$$

Պարզեցնել:

$$6x+2y=0,6x-15y=18$$

Հանեք 6x-15y=18 6x+2y=0-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$6x-6x+2y+15y=-18$$

Գումարեք 6x -6x-ին: 6x-ը և -6x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$2y+15y=-18$$

Գումարեք 2y 15y-ին:

$$17y=-18$$

Բաժանեք երկու կողմերը 17-ի:

$$y=-\frac{18}{17}$$

Փոխարինեք -\frac{18}{17}-ը y-ով 2x-5y=6-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$2x-5\left(-\frac{18}{17}\right)=6$$

Բազմապատկեք -5 անգամ -\frac{18}{17}:

$$2x+\frac{90}{17}=6$$

Հանեք \frac{90}{17} հավասարման երկու կողմից:

$$2x=\frac{12}{17}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{6}{17}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{6}{17},y=-\frac{18}{17}$$