Լուծեք {l}{3x+y=-3}{x+y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = - 3 } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-2$$

$$y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x+y=-3,x+y=1$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x+y=-3$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-y-3$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(-y-3\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -y-3:

$$x=-\frac{1}{3}y-1$$

Փոխարինեք -\frac{y}{3}-1-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x+y=1:

$$-\frac{1}{3}y-1+y=1$$

Գումարեք -\frac{y}{3} y-ին:

$$\frac{2}{3}y-1=1$$

Գումարեք 1 հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{2}{3}y=2$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{2}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=3$$

Փոխարինեք 3-ը y-ով x=-\frac{1}{3}y-1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{3}\times 3-1$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{3} անգամ 3:

$$x=-1-1$$

Գումարեք -1 -1-ին:

$$x=-2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-2,y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x+y=-3,x+y=1$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-1}&-\frac{1}{3-1}\\-\frac{1}{3-1}&\frac{3}{3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-3\right)-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\left(-3\right)+\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-2,y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x+y=-3,x+y=1$$

Հանեք x+y=1 3x+y=-3-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$3x-x+y-y=-3-1$$

Գումարեք y -y-ին: y-ը և -y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$3x-x=-3-1$$

Գումարեք 3x -x-ին:

$$2x=-3-1$$

Գումարեք -3 -1-ին:

$$2x=-4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=-2$$

Փոխարինեք -2-ը x-ով x+y=1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$-2+y=1$$

Գումարեք 2 հավասարման երկու կողմին:

$$y=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-2,y=3$$