Լուծեք {l}{3x+7y=63}{2x+4y=38}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 7 y = 63 } \\ { 2 x + 4 y = 38 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=7$$

$$y=6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x+7y=63,2x+4y=38$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x+7y=63$$

Հանեք 7y հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-7y+63$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+63\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -7y+63:

$$x=-\frac{7}{3}y+21$$

Փոխարինեք -\frac{7y}{3}+21-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x+4y=38:

$$2\left(-\frac{7}{3}y+21\right)+4y=38$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -\frac{7y}{3}+21:

$$-\frac{14}{3}y+42+4y=38$$

Գումարեք -\frac{14y}{3} 4y-ին:

$$-\frac{2}{3}y+42=38$$

Հանեք 42 հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{2}{3}y=-4$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{2}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=6$$

Փոխարինեք 6-ը y-ով x=-\frac{7}{3}y+21-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{7}{3}\times 6+21$$

Բազմապատկեք -\frac{7}{3} անգամ 6:

$$x=-14+21$$

Գումարեք 21 -14-ին:

$$x=7$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=7,y=6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x+7y=63,2x+4y=38$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

2\times 2 մատրիցայի՝ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) դեպքում հակադարձ մատրիցան հետևյալն է՝ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ուստի մատրիցայի հավասարումը կարելի է վերագրել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-7\times 2}&-\frac{7}{3\times 4-7\times 2}\\-\frac{2}{3\times 4-7\times 2}&\frac{3}{3\times 4-7\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&\frac{7}{2}\\1&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 63+\frac{7}{2}\times 38\\63-\frac{3}{2}\times 38\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\6\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=7,y=6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x+7y=63,2x+4y=38$$

3x-ը և 2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$2\times 3x+2\times 7y=2\times 63,3\times 2x+3\times 4y=3\times 38$$

Պարզեցնել:

$$6x+14y=126,6x+12y=114$$

Հանեք 6x+12y=114 6x+14y=126-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$6x-6x+14y-12y=126-114$$

Գումարեք 6x -6x-ին: 6x-ը և -6x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$14y-12y=126-114$$

Գումարեք 14y -12y-ին:

$$2y=126-114$$

Գումարեք 126 -114-ին:

$$2y=12$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$y=6$$

Փոխարինեք 6-ը y-ով 2x+4y=38-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$2x+4\times 6=38$$

Բազմապատկեք 4 անգամ 6:

$$2x+24=38$$

Հանեք 24 հավասարման երկու կողմից:

$$2x=14$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=7$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=7,y=6$$