Լուծեք {l}{3x+7y=10}{4x-19y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 7 y = 10 } \\ { 4 x - 19 y = 7 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{239}{85} = 2\frac{69}{85} \approx 2.811764706$$

$$y=\frac{19}{85}\approx 0.223529412$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x+7y=10,4x-19y=7$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x+7y=10$$

Հանեք 7y հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-7y+10$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+10\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -7y+10:

$$x=-\frac{7}{3}y+\frac{10}{3}$$

Փոխարինեք \frac{-7y+10}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 4x-19y=7:

$$4\left(-\frac{7}{3}y+\frac{10}{3}\right)-19y=7$$

Բազմապատկեք 4 անգամ \frac{-7y+10}{3}:

$$-\frac{28}{3}y+\frac{40}{3}-19y=7$$

Գումարեք -\frac{28y}{3} -19y-ին:

$$-\frac{85}{3}y+\frac{40}{3}=7$$

Հանեք \frac{40}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{85}{3}y=-\frac{19}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{85}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{19}{85}$$

Փոխարինեք \frac{19}{85}-ը y-ով x=-\frac{7}{3}y+\frac{10}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{7}{3}\times \frac{19}{85}+\frac{10}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{7}{3} անգամ \frac{19}{85}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{133}{255}+\frac{10}{3}$$

Գումարեք \frac{10}{3} -\frac{133}{255}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{239}{85}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{239}{85},y=\frac{19}{85}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x+7y=10,4x-19y=7$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{3\left(-19\right)-7\times 4}&-\frac{7}{3\left(-19\right)-7\times 4}\\-\frac{4}{3\left(-19\right)-7\times 4}&\frac{3}{3\left(-19\right)-7\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{85}&\frac{7}{85}\\\frac{4}{85}&-\frac{3}{85}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{85}\times 10+\frac{7}{85}\times 7\\\frac{4}{85}\times 10-\frac{3}{85}\times 7\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{239}{85}\\\frac{19}{85}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{239}{85},y=\frac{19}{85}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x+7y=10,4x-19y=7$$

3x-ը և 4x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$4\times 3x+4\times 7y=4\times 10,3\times 4x+3\left(-19\right)y=3\times 7$$

Պարզեցնել:

$$12x+28y=40,12x-57y=21$$

Հանեք 12x-57y=21 12x+28y=40-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$12x-12x+28y+57y=40-21$$

Գումարեք 12x -12x-ին: 12x-ը և -12x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$28y+57y=40-21$$

Գումարեք 28y 57y-ին:

$$85y=40-21$$

Գումարեք 40 -21-ին:

$$85y=19$$

Բաժանեք երկու կողմերը 85-ի:

$$y=\frac{19}{85}$$

Փոխարինեք \frac{19}{85}-ը y-ով 4x-19y=7-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$4x-19\times \frac{19}{85}=7$$

Բազմապատկեք -19 անգամ \frac{19}{85}:

$$4x-\frac{361}{85}=7$$

Գումարեք \frac{361}{85} հավասարման երկու կողմին:

$$4x=\frac{956}{85}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=\frac{239}{85}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{239}{85},y=\frac{19}{85}$$