Լուծեք {l}{3x+6y=1}{x+y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 6 y = 1 } \\ { x + y = 0 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$y=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x+6y=1,x+y=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x+6y=1$$

Հանեք 6y հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-6y+1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(-6y+1\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -6y+1:

$$x=-2y+\frac{1}{3}$$

Փոխարինեք -2y+\frac{1}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x+y=0:

$$-2y+\frac{1}{3}+y=0$$

Գումարեք -2y y-ին:

$$-y+\frac{1}{3}=0$$

Հանեք \frac{1}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$-y=-\frac{1}{3}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$y=\frac{1}{3}$$

Փոխարինեք \frac{1}{3}-ը y-ով x=-2y+\frac{1}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-2\times \frac{1}{3}+\frac{1}{3}$$

Բազմապատկեք -2 անգամ \frac{1}{3}:

$$x=\frac{-2+1}{3}$$

Գումարեք \frac{1}{3} -\frac{2}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-\frac{1}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{1}{3},y=\frac{1}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x+6y=1,x+y=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&6\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&6\\1&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&6\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-6}&-\frac{6}{3-6}\\-\frac{1}{3-6}&\frac{3}{3-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&2\\\frac{1}{3}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{1}{3},y=\frac{1}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x+6y=1,x+y=0$$

3x-ը և x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$3x+6y=1,3x+3y=0$$

Հանեք 3x+3y=0 3x+6y=1-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$3x-3x+6y-3y=1$$

Գումարեք 3x -3x-ին: 3x-ը և -3x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$6y-3y=1$$

Գումարեք 6y -3y-ին:

$$3y=1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$y=\frac{1}{3}$$

Փոխարինեք \frac{1}{3}-ը y-ով x+y=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x+\frac{1}{3}=0$$

Հանեք \frac{1}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$x=-\frac{1}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{1}{3},y=\frac{1}{3}$$