Լուծեք {l}{3x+5y=-24}{-5x+2y=-22x}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = - 24 } \\ { - 5 x + 2 y = - 22 x } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=\frac{48}{79}\approx 0.607594937$$

$$y = -\frac{408}{79} = -5\frac{13}{79} \approx -5.164556962$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 22x-ը երկու կողմերում:

$$-5x+2y+22x=0$$

Համակցեք -5x և 22x և ստացեք 17x:

$$17x+2y=0$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x+5y=-24$$

Հանեք 5y հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-5y-24$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-24\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -5y-24:

$$x=-\frac{5}{3}y-8$$

Փոխարինեք -\frac{5y}{3}-8-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 17x+2y=0:

$$17\left(-\frac{5}{3}y-8\right)+2y=0$$

Բազմապատկեք 17 անգամ -\frac{5y}{3}-8:

$$-\frac{85}{3}y-136+2y=0$$

Գումարեք -\frac{85y}{3} 2y-ին:

$$-\frac{79}{3}y-136=0$$

Գումարեք 136 հավասարման երկու կողմին:

$$-\frac{79}{3}y=136$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{79}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-\frac{408}{79}$$

Փոխարինեք -\frac{408}{79}-ը y-ով x=-\frac{5}{3}y-8-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{5}{3}\left(-\frac{408}{79}\right)-8$$

Բազմապատկեք -\frac{5}{3} անգամ -\frac{408}{79}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=\frac{680}{79}-8$$

Գումարեք -8 \frac{680}{79}-ին:

$$x=\frac{48}{79}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 22x-ը երկու կողմերում:

$$-5x+2y+22x=0$$

Համակցեք -5x և 22x և ստացեք 17x:

$$17x+2y=0$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-5\times 17}&-\frac{5}{3\times 2-5\times 17}\\-\frac{17}{3\times 2-5\times 17}&\frac{3}{3\times 2-5\times 17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{79}&\frac{5}{79}\\\frac{17}{79}&-\frac{3}{79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{79}\left(-24\right)\\\frac{17}{79}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{79}\\-\frac{408}{79}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 22x-ը երկու կողմերում:

$$-5x+2y+22x=0$$

Համակցեք -5x և 22x և ստացեք 17x:

$$17x+2y=0$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

3x-ը և 17x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 17-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$17\times 3x+17\times 5y=17\left(-24\right),3\times 17x+3\times 2y=0$$

Պարզեցնել:

$$51x+85y=-408,51x+6y=0$$

Հանեք 51x+6y=0 51x+85y=-408-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$51x-51x+85y-6y=-408$$

Գումարեք 51x -51x-ին: 51x-ը և -51x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$85y-6y=-408$$

Գումարեք 85y -6y-ին:

$$79y=-408$$

Բաժանեք երկու կողմերը 79-ի:

$$y=-\frac{408}{79}$$

Փոխարինեք -\frac{408}{79}-ը y-ով 17x+2y=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$17x+2\left(-\frac{408}{79}\right)=0$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -\frac{408}{79}:

$$17x-\frac{816}{79}=0$$

Գումարեք \frac{816}{79} հավասարման երկու կողմին:

$$17x=\frac{816}{79}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 17-ի:

$$x=\frac{48}{79}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$