Լուծեք {l}{3x+4y=7}{kx-2y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 7 } \\ { k x - 2 y = 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=\frac{9}{2k+3}$$

$$y=-\frac{3-7k}{2\left(2k+3\right)}$$

$$k\neq -\frac{3}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x+4y=7,kx-2y=1$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x+4y=7$$

Հանեք 4y հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-4y+7$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+7\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -4y+7:

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{7}{3}$$

Փոխարինեք \frac{-4y+7}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ kx-2y=1:

$$k\left(-\frac{4}{3}y+\frac{7}{3}\right)-2y=1$$

Բազմապատկեք k անգամ \frac{-4y+7}{3}:

$$\left(-\frac{4k}{3}\right)y+\frac{7k}{3}-2y=1$$

Գումարեք -\frac{4ky}{3} -2y-ին:

$$\left(-\frac{4k}{3}-2\right)y+\frac{7k}{3}=1$$

Հանեք \frac{7k}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$\left(-\frac{4k}{3}-2\right)y=-\frac{7k}{3}+1$$

Բաժանեք երկու կողմերը -\frac{4k}{3}-2-ի:

$$y=-\frac{3-7k}{2\left(2k+3\right)}$$

Փոխարինեք -\frac{3-7k}{2\left(2k+3\right)}-ը y-ով x=-\frac{4}{3}y+\frac{7}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{3-7k}{2\left(2k+3\right)}\right)+\frac{7}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{4}{3} անգամ -\frac{3-7k}{2\left(2k+3\right)}:

$$x=\frac{2\left(3-7k\right)}{3\left(2k+3\right)}+\frac{7}{3}$$

Գումարեք \frac{7}{3} \frac{2\left(3-7k\right)}{3\left(2k+3\right)}-ին:

$$x=\frac{9}{2k+3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{9}{2k+3},y=-\frac{3-7k}{2\left(2k+3\right)}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x+4y=7,kx-2y=1$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&4\\k&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&4\\k&-2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\k&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\k&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\k&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\k&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\k&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-4k}&-\frac{4}{3\left(-2\right)-4k}\\-\frac{k}{3\left(-2\right)-4k}&\frac{3}{3\left(-2\right)-4k}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2k+3}&\frac{2}{2k+3}\\\frac{k}{2\left(2k+3\right)}&-\frac{3}{2\left(2k+3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2k+3}\times 7+\frac{2}{2k+3}\\\frac{k}{2\left(2k+3\right)}\times 7-\frac{3}{2\left(2k+3\right)}\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2k+3}\\\frac{7k-3}{2\left(2k+3\right)}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{9}{2k+3},y=\frac{7k-3}{2\left(2k+3\right)}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x+4y=7,kx-2y=1$$

3x-ը և kx-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները k-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$k\times 3x+k\times 4y=k\times 7,3kx+3\left(-2\right)y=3$$

Պարզեցնել:

$$3kx+4ky=7k,3kx-6y=3$$

Հանեք 3kx-6y=3 3kx+4ky=7k-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$3kx+\left(-3k\right)x+4ky+6y=7k-3$$

Գումարեք 3kx -3kx-ին: 3kx-ը և -3kx-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$4ky+6y=7k-3$$

Գումարեք 4ky 6y-ին:

$$\left(4k+6\right)y=7k-3$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4k+6-ի:

$$y=\frac{7k-3}{2\left(2k+3\right)}$$

Փոխարինեք \frac{7k-3}{2\left(2k+3\right)}-ը y-ով kx-2y=1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$kx-2\times \frac{7k-3}{2\left(2k+3\right)}=1$$

Բազմապատկեք -2 անգամ \frac{7k-3}{2\left(2k+3\right)}:

$$kx-\frac{7k-3}{2k+3}=1$$

Գումարեք \frac{7k-3}{2k+3} հավասարման երկու կողմին:

$$kx=\frac{9k}{2k+3}$$

Բաժանեք երկու կողմերը k-ի:

$$x=\frac{9}{2k+3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{9}{2k+3},y=\frac{7k-3}{2\left(2k+3\right)}$$