Լուծեք {l}{3x+4y=253}{y=5x}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 253 } \\ { y = 5 x } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=11$$

$$y=55$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 5x երկու կողմերից:

$$y-5x=0$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x+4y=253,-5x+y=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x+4y=253$$

Հանեք 4y հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-4y+253$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+253\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -4y+253:

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{253}{3}$$

Փոխարինեք \frac{-4y+253}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -5x+y=0:

$$-5\left(-\frac{4}{3}y+\frac{253}{3}\right)+y=0$$

Բազմապատկեք -5 անգամ \frac{-4y+253}{3}:

$$\frac{20}{3}y-\frac{1265}{3}+y=0$$

Գումարեք \frac{20y}{3} y-ին:

$$\frac{23}{3}y-\frac{1265}{3}=0$$

Գումարեք \frac{1265}{3} հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{23}{3}y=\frac{1265}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{23}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=55$$

Փոխարինեք 55-ը y-ով x=-\frac{4}{3}y+\frac{253}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{4}{3}\times 55+\frac{253}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{4}{3} անգամ 55:

$$x=\frac{-220+253}{3}$$

Գումարեք \frac{253}{3} -\frac{220}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=11$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=11,y=55$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 5x երկու կողմերից:

$$y-5x=0$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x+4y=253,-5x+y=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-4\left(-5\right)}&-\frac{4}{3-4\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{3-4\left(-5\right)}&\frac{3}{3-4\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}&-\frac{4}{23}\\\frac{5}{23}&\frac{3}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}\times 253\\\frac{5}{23}\times 253\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\55\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=11,y=55$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 5x երկու կողմերից:

$$y-5x=0$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x+4y=253,-5x+y=0$$

3x-ը և -5x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$-5\times 3x-5\times 4y=-5\times 253,3\left(-5\right)x+3y=0$$

Պարզեցնել:

$$-15x-20y=-1265,-15x+3y=0$$

Հանեք -15x+3y=0 -15x-20y=-1265-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-15x+15x-20y-3y=-1265$$

Գումարեք -15x 15x-ին: -15x-ը և 15x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-20y-3y=-1265$$

Գումարեք -20y -3y-ին:

$$-23y=-1265$$

Բաժանեք երկու կողմերը -23-ի:

$$y=55$$

Փոխարինեք 55-ը y-ով -5x+y=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-5x+55=0$$

Հանեք 55 հավասարման երկու կողմից:

$$-5x=-55$$

Բաժանեք երկու կողմերը -5-ի:

$$x=11$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=11,y=55$$