Լուծեք {l}{3x+4y+m=0}{9x^2+16y^2=144}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y + m = 0 } \\ { 9 x ^ { 2 } + 16 y ^ { 2 } = 144 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{288-m^{2}}-m}{6}\text{, }y=\frac{-\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}$$

$$x=\frac{-\sqrt{288-m^{2}}-m}{6}\text{, }y=\frac{\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինման և քառակուսու բանաձևը

Լուծեք 3x+4y+m=0-ը x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x+4y+m=0$$

Հանեք m հավասարման երկու կողմից:

$$3x+4y=-m$$

Հանեք 4y հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-4y-m$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=-\frac{4}{3}y-\frac{m}{3}$$

Փոխարինեք -\frac{4}{3}y-\frac{m}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 16y^{2}+9x^{2}=144:

$$16y^{2}+9\left(-\frac{4}{3}y-\frac{m}{3}\right)^{2}=144$$

-\frac{4}{3}y-\frac{m}{3}-ի քառակուսի:

$$16y^{2}+9\left(\frac{16}{9}y^{2}+\left(-\frac{8}{3}\left(-\frac{m}{3}\right)\right)y+\left(-\frac{m}{3}\right)^{2}\right)=144$$

Բազմապատկեք 9 անգամ \frac{16}{9}y^{2}+\left(-\frac{8}{3}\left(-\frac{m}{3}\right)\right)y+\left(-\frac{m}{3}\right)^{2}:

$$16y^{2}+16y^{2}+\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)y+9\left(-\frac{m}{3}\right)^{2}=144$$

Գումարեք 16y^{2} 16y^{2}-ին:

$$32y^{2}+\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)y+9\left(-\frac{m}{3}\right)^{2}=144$$

Հանեք 144 հավասարման երկու կողմից:

$$32y^{2}+\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)y+9\left(-\frac{m}{3}\right)^{2}-144=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 16+9\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}-ը a-ով, 9\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2\left(-\frac{m}{3}\right)-ը b-ով և -144+m^{2}-ը c-ով:

$$y=\frac{-\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)±\sqrt{\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)^{2}-4\times 32\left(m^{2}-144\right)}}{2\times 32}$$

9\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2\left(-\frac{m}{3}\right)-ի քառակուսի:

$$y=\frac{-\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)±\sqrt{64m^{2}-4\times 32\left(m^{2}-144\right)}}{2\times 32}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 16+9\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}:

$$y=\frac{-\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)±\sqrt{64m^{2}-128\left(m^{2}-144\right)}}{2\times 32}$$

Բազմապատկեք -128 անգամ -144+m^{2}:

$$y=\frac{-\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)±\sqrt{64m^{2}[phone]m^{2}}}{2\times 32}$$

Գումարեք 64m^{2} 18432-128m^{2}-ին:

$$y=\frac{-\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)±\sqrt{18432-64m^{2}}}{2\times 32}$$

Հանեք 18432-64m^{2}-ի քառակուսի արմատը:

$$y=\frac{-\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)±8\sqrt{288-m^{2}}}{2\times 32}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 16+9\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}:

$$y=\frac{-8m±8\sqrt{288-m^{2}}}{64}$$

Այժմ լուծել y=\frac{-8m±8\sqrt{288-m^{2}}}{64} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -8m 8\sqrt{288-m^{2}}-ին:

$$y=\frac{8\sqrt{288-m^{2}}-8m}{64}$$

Բաժանեք -8m+8\sqrt{288-m^{2}}-ը 64-ի վրա:

$$y=\frac{\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}$$

Այժմ լուծել y=\frac{-8m±8\sqrt{288-m^{2}}}{64} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 8\sqrt{288-m^{2}} -8m-ից:

$$y=\frac{-8\sqrt{288-m^{2}}-8m}{64}$$

Բաժանեք -8m-8\sqrt{288-m^{2}}-ը 64-ի վրա:

$$y=\frac{-\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}$$

Երկու լուծման եղանակ կա y-ի համար՝ \frac{-m+\sqrt{288-m^{2}}}{8} և \frac{-m-\sqrt{288-m^{2}}}{8}: Փոխարինեք \frac{-m+\sqrt{288-m^{2}}}{8}-ը y-ով x=-\frac{4}{3}y-\frac{m}{3} հավասրաման մեջ և գտեք x-ի համապատասխան լուծումը, որը համապատասխանում է երկու հավասարմանը:

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}-\frac{m}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{4}{3} անգամ \frac{-m+\sqrt{288-m^{2}}}{8}:

$$x=\frac{-4\times \frac{\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}-m}{3}$$

Այժմ փոխարինեք \frac{-m-\sqrt{288-m^{2}}}{8}-ը y-ով x=-\frac{4}{3}y-\frac{m}{3} հավասարման մեջ և լուծեք՝ գտնելով x-ի համապատասխան լուծումը, որը համապատասխանում է երկու հավասարմանը:

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{-\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}-\frac{m}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{4}{3} անգամ \frac{-m-\sqrt{288-m^{2}}}{8}:

$$x=\frac{-4\times \frac{-\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}-m}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{-4\times \frac{\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}-m}{3},y=\frac{\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}\text{ or }x=\frac{-4\times \frac{-\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}-m}{3},y=\frac{-\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=\frac{\sqrt{288-m^{2}}-m}{6}\text{, }y=\frac{-\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}$$

$$x=\frac{-\sqrt{288-m^{2}}-m}{6}\text{, }y=\frac{\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}\text{, }|m|\leq 12\sqrt{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինման և քառակուսու բանաձևը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x+4y+m=0,16y^{2}+9x^{2}=144$$

Լուծեք 3x+4y+m=0-ը x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x+4y+m=0$$

Հանեք m հավասարման երկու կողմից:

$$3x+4y=-m$$

Հանեք 4y հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-4y-m$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=-\frac{4}{3}y-\frac{m}{3}$$

Փոխարինեք -\frac{4}{3}y-\frac{m}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 16y^{2}+9x^{2}=144:

$$16y^{2}+9\left(-\frac{4}{3}y-\frac{m}{3}\right)^{2}=144$$

-\frac{4}{3}y-\frac{m}{3}-ի քառակուսի:

$$16y^{2}+9\left(\frac{16}{9}y^{2}+\left(-\frac{8}{3}\left(-\frac{m}{3}\right)\right)y+\left(-\frac{m}{3}\right)^{2}\right)=144$$

Բազմապատկեք 9 անգամ \frac{16}{9}y^{2}+\left(-\frac{8}{3}\left(-\frac{m}{3}\right)\right)y+\left(-\frac{m}{3}\right)^{2}:

$$16y^{2}+16y^{2}+\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)y+9\left(-\frac{m}{3}\right)^{2}=144$$

Գումարեք 16y^{2} 16y^{2}-ին:

$$32y^{2}+\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)y+9\left(-\frac{m}{3}\right)^{2}=144$$

Հանեք 144 հավասարման երկու կողմից:

$$32y^{2}+\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)y+9\left(-\frac{m}{3}\right)^{2}-144=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 16+9\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}-ը a-ով, 9\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2\left(-\frac{m}{3}\right)-ը b-ով և -144+m^{2}-ը c-ով:

$$y=\frac{-\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)±\sqrt{\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)^{2}-4\times 32\left(m^{2}-144\right)}}{2\times 32}$$

9\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2\left(-\frac{m}{3}\right)-ի քառակուսի:

$$y=\frac{-\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)±\sqrt{64m^{2}-4\times 32\left(m^{2}-144\right)}}{2\times 32}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 16+9\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}:

$$y=\frac{-\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)±\sqrt{64m^{2}-128\left(m^{2}-144\right)}}{2\times 32}$$

Բազմապատկեք -128 անգամ -144+m^{2}:

$$y=\frac{-\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)±\sqrt{64m^{2}[phone]m^{2}}}{2\times 32}$$

Գումարեք 64m^{2} 18432-128m^{2}-ին:

$$y=\frac{-\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)±\sqrt{18432-64m^{2}}}{2\times 32}$$

Հանեք 18432-64m^{2}-ի քառակուսի արմատը:

$$y=\frac{-\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)±8\sqrt{288-m^{2}}}{2\times 32}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 16+9\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}:

$$y=\frac{-8m±8\sqrt{288-m^{2}}}{64}$$

Այժմ լուծել y=\frac{-8m±8\sqrt{288-m^{2}}}{64} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -8m 8\sqrt{288-m^{2}}-ին:

$$y=\frac{8\sqrt{288-m^{2}}-8m}{64}$$

Բաժանեք -8m+8\sqrt{288-m^{2}}-ը 64-ի վրա:

$$y=\frac{\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}$$

Այժմ լուծել y=\frac{-8m±8\sqrt{288-m^{2}}}{64} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 8\sqrt{288-m^{2}} -8m-ից:

$$y=\frac{-8\sqrt{288-m^{2}}-8m}{64}$$

Բաժանեք -8m-8\sqrt{288-m^{2}}-ը 64-ի վրա:

$$y=\frac{-\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}$$

Երկու լուծման եղանակ կա y-ի համար՝ \frac{-m+\sqrt{288-m^{2}}}{8} և \frac{-m-\sqrt{288-m^{2}}}{8}: Փոխարինեք \frac{-m+\sqrt{288-m^{2}}}{8}-ը y-ով x=-\frac{4}{3}y-\frac{m}{3} հավասրաման մեջ և գտեք x-ի համապատասխան լուծումը, որը համապատասխանում է երկու հավասարմանը:

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}-\frac{m}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{4}{3} անգամ \frac{-m+\sqrt{288-m^{2}}}{8}:

$$x=\frac{-4\times \frac{\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}-m}{3}$$

Այժմ փոխարինեք \frac{-m-\sqrt{288-m^{2}}}{8}-ը y-ով x=-\frac{4}{3}y-\frac{m}{3} հավասարման մեջ և լուծեք՝ գտնելով x-ի համապատասխան լուծումը, որը համապատասխանում է երկու հավասարմանը:

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{-\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}-\frac{m}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{4}{3} անգամ \frac{-m-\sqrt{288-m^{2}}}{8}:

$$x=\frac{-4\times \frac{-\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}-m}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{-4\times \frac{\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}-m}{3},y=\frac{\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}\text{ or }x=\frac{-4\times \frac{-\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}-m}{3},y=\frac{-\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}$$