Լուծեք {l}{3x+2y=4+3}{2x-y=278-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 4 + 3 } \\ { 2 x - y = 278 - 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{561}{7} = 80\frac{1}{7} \approx 80.142857143$$

$$y = -\frac{817}{7} = -116\frac{5}{7} \approx -116.714285714$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x+2y=7,2x-y=277$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x+2y=7$$

Հանեք 2y հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-2y+7$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+7\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -2y+7:

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}$$

Փոխարինեք \frac{-2y+7}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x-y=277:

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}\right)-y=277$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{-2y+7}{3}:

$$-\frac{4}{3}y+\frac{14}{3}-y=277$$

Գումարեք -\frac{4y}{3} -y-ին:

$$-\frac{7}{3}y+\frac{14}{3}=277$$

Հանեք \frac{14}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{7}{3}y=\frac{817}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{7}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-\frac{817}{7}$$

Փոխարինեք -\frac{817}{7}-ը y-ով x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{2}{3}\left(-\frac{817}{7}\right)+\frac{7}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{2}{3} անգամ -\frac{817}{7}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=\frac{1634}{21}+\frac{7}{3}$$

Գումարեք \frac{7}{3} \frac{1634}{21}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{561}{7}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{561}{7},y=-\frac{817}{7}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x+2y=7,2x-y=277$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\277\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\277\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\277\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\277\end{matrix}\right)$$

2\times 2 մատրիցայի՝ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) դեպքում հակադարձ մատրիցան հետևյալն է՝ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ուստի մատրիցայի հավասարումը կարելի է վերագրել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2\times 2}&-\frac{2}{3\left(-1\right)-2\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-2\times 2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\277\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\277\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 7+\frac{2}{7}\times 277\\\frac{2}{7}\times 7-\frac{3}{7}\times 277\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{561}{7}\\-\frac{817}{7}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{561}{7},y=-\frac{817}{7}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x+2y=7,2x-y=277$$

3x-ը և 2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$2\times 3x+2\times 2y=2\times 7,3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 277$$

Պարզեցնել:

$$6x+4y=14,6x-3y=831$$

Հանեք 6x-3y=831 6x+4y=14-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$6x-6x+4y+3y=14-831$$

Գումարեք 6x -6x-ին: 6x-ը և -6x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$4y+3y=14-831$$

Գումարեք 4y 3y-ին:

$$7y=14-831$$

Գումարեք 14 -831-ին:

$$7y=-817$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$y=-\frac{817}{7}$$

Փոխարինեք -\frac{817}{7}-ը y-ով 2x-y=277-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$2x-\left(-\frac{817}{7}\right)=277$$

Հանեք \frac{817}{7} հավասարման երկու կողմից:

$$2x=\frac{1122}{7}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{561}{7}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{561}{7},y=-\frac{817}{7}$$