Լուծեք {l}{3x+2y=32}{-x+3y=15}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 32 } \\ { - x + 3 y = 15 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=6$$

$$y=7$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x+2y=32,-x+3y=15$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x+2y=32$$

Հանեք 2y հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-2y+32$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+32\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -2y+32:

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}$$

Փոխարինեք \frac{-2y+32}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -x+3y=15:

$$-\left(-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}\right)+3y=15$$

Բազմապատկեք -1 անգամ \frac{-2y+32}{3}:

$$\frac{2}{3}y-\frac{32}{3}+3y=15$$

Գումարեք \frac{2y}{3} 3y-ին:

$$\frac{11}{3}y-\frac{32}{3}=15$$

Գումարեք \frac{32}{3} հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{11}{3}y=\frac{77}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{11}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=7$$

Փոխարինեք 7-ը y-ով x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{2}{3}\times 7+\frac{32}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{2}{3} անգամ 7:

$$x=\frac{-14+32}{3}$$

Գումարեք \frac{32}{3} -\frac{14}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=6$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=6,y=7$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x+2y=32,-x+3y=15$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{3\times 3-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 3-2\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 3-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&-\frac{2}{11}\\\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 32-\frac{2}{11}\times 15\\\frac{1}{11}\times 32+\frac{3}{11}\times 15\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=6,y=7$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x+2y=32,-x+3y=15$$

3x-ը և -x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$-3x-2y=-32,3\left(-1\right)x+3\times 3y=3\times 15$$

Պարզեցնել:

$$-3x-2y=-32,-3x+9y=45$$

Հանեք -3x+9y=45 -3x-2y=-32-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-3x+3x-2y-9y=-32-45$$

Գումարեք -3x 3x-ին: -3x-ը և 3x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-2y-9y=-32-45$$

Գումարեք -2y -9y-ին:

$$-11y=-32-45$$

Գումարեք -32 -45-ին:

$$-11y=-77$$

Բաժանեք երկու կողմերը -11-ի:

$$y=7$$

Փոխարինեք 7-ը y-ով -x+3y=15-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-x+3\times 7=15$$

Բազմապատկեք 3 անգամ 7:

$$-x+21=15$$

Հանեք 21 հավասարման երկու կողմից:

$$-x=-6$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$x=6$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=6,y=7$$