Լուծեք {l}{3x+2y=3}{x-y=21}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 3 } \\ { x - y = 21 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=9$$

$$y=-12$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x+2y=3,x-y=21$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x+2y=3$$

Հանեք 2y հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-2y+3$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+3\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -2y+3:

$$x=-\frac{2}{3}y+1$$

Փոխարինեք -\frac{2y}{3}+1-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x-y=21:

$$-\frac{2}{3}y+1-y=21$$

Գումարեք -\frac{2y}{3} -y-ին:

$$-\frac{5}{3}y+1=21$$

Հանեք 1 հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{5}{3}y=20$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{5}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-12$$

Փոխարինեք -12-ը y-ով x=-\frac{2}{3}y+1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{2}{3}\left(-12\right)+1$$

Բազմապատկեք -\frac{2}{3} անգամ -12:

$$x=8+1$$

Գումարեք 1 8-ին:

$$x=9$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=9,y=-12$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x+2y=3,x-y=21$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\21\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\21\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\21\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&-\frac{2}{3\left(-1\right)-2}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\21\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\21\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 3+\frac{2}{5}\times 21\\\frac{1}{5}\times 3-\frac{3}{5}\times 21\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=9,y=-12$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x+2y=3,x-y=21$$

3x-ը և x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$3x+2y=3,3x+3\left(-1\right)y=3\times 21$$

Պարզեցնել:

$$3x+2y=3,3x-3y=63$$

Հանեք 3x-3y=63 3x+2y=3-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$3x-3x+2y+3y=3-63$$

Գումարեք 3x -3x-ին: 3x-ը և -3x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$2y+3y=3-63$$

Գումարեք 2y 3y-ին:

$$5y=3-63$$

Գումարեք 3 -63-ին:

$$5y=-60$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$y=-12$$

Փոխարինեք -12-ը y-ով x-y=21-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x-\left(-12\right)=21$$

Հանեք 12 հավասարման երկու կողմից:

$$x=9$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=9,y=-12$$