Լուծեք {l}{3x+2y=3}{4x+y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 3 } \\ { 4 x + y = 0 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-\frac{3}{5}=-0.6$$

$$y = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5} = 2.4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x+2y=3,4x+y=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x+2y=3$$

Հանեք 2y հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-2y+3$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+3\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -2y+3:

$$x=-\frac{2}{3}y+1$$

Փոխարինեք -\frac{2y}{3}+1-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 4x+y=0:

$$4\left(-\frac{2}{3}y+1\right)+y=0$$

Բազմապատկեք 4 անգամ -\frac{2y}{3}+1:

$$-\frac{8}{3}y+4+y=0$$

Գումարեք -\frac{8y}{3} y-ին:

$$-\frac{5}{3}y+4=0$$

Հանեք 4 հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{5}{3}y=-4$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{5}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{12}{5}$$

Փոխարինեք \frac{12}{5}-ը y-ով x=-\frac{2}{3}y+1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{12}{5}+1$$

Բազմապատկեք -\frac{2}{3} անգամ \frac{12}{5}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{8}{5}+1$$

Գումարեք 1 -\frac{8}{5}-ին:

$$x=-\frac{3}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{3}{5},y=\frac{12}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x+2y=3,4x+y=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&2\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&2\\4&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2\times 4}&-\frac{2}{3-2\times 4}\\-\frac{4}{3-2\times 4}&\frac{3}{3-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{4}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 3\\\frac{4}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\\\frac{12}{5}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{3}{5},y=\frac{12}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x+2y=3,4x+y=0$$

3x-ը և 4x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$4\times 3x+4\times 2y=4\times 3,3\times 4x+3y=0$$

Պարզեցնել:

$$12x+8y=12,12x+3y=0$$

Հանեք 12x+3y=0 12x+8y=12-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$12x-12x+8y-3y=12$$

Գումարեք 12x -12x-ին: 12x-ը և -12x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$8y-3y=12$$

Գումարեք 8y -3y-ին:

$$5y=12$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$y=\frac{12}{5}$$

Փոխարինեք \frac{12}{5}-ը y-ով 4x+y=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$4x+\frac{12}{5}=0$$

Հանեք \frac{12}{5} հավասարման երկու կողմից:

$$4x=-\frac{12}{5}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=-\frac{3}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{3}{5},y=\frac{12}{5}$$