Լուծեք {l}{3x+2y=11}{4x+9y=117}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 11 } \\ { 4 x + 9 y = 117 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = -\frac{135}{19} = -7\frac{2}{19} \approx -7.105263158$$

$$y = \frac{307}{19} = 16\frac{3}{19} \approx 16.157894737$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x+2y=11,4x+9y=117$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x+2y=11$$

Հանեք 2y հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-2y+11$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+11\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -2y+11:

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{11}{3}$$

Փոխարինեք \frac{-2y+11}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 4x+9y=117:

$$4\left(-\frac{2}{3}y+\frac{11}{3}\right)+9y=117$$

Բազմապատկեք 4 անգամ \frac{-2y+11}{3}:

$$-\frac{8}{3}y+\frac{44}{3}+9y=117$$

Գումարեք -\frac{8y}{3} 9y-ին:

$$\frac{19}{3}y+\frac{44}{3}=117$$

Հանեք \frac{44}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{19}{3}y=\frac{307}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{19}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{307}{19}$$

Փոխարինեք \frac{307}{19}-ը y-ով x=-\frac{2}{3}y+\frac{11}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{307}{19}+\frac{11}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{2}{3} անգամ \frac{307}{19}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{614}{57}+\frac{11}{3}$$

Գումարեք \frac{11}{3} -\frac{614}{57}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-\frac{135}{19}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{135}{19},y=\frac{307}{19}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x+2y=11,4x+9y=117$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\117\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\117\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\117\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\117\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{3\times 9-2\times 4}&-\frac{2}{3\times 9-2\times 4}\\-\frac{4}{3\times 9-2\times 4}&\frac{3}{3\times 9-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\117\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{19}&-\frac{2}{19}\\-\frac{4}{19}&\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\117\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{19}\times 11-\frac{2}{19}\times 117\\-\frac{4}{19}\times 11+\frac{3}{19}\times 117\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{135}{19}\\\frac{307}{19}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{135}{19},y=\frac{307}{19}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x+2y=11,4x+9y=117$$

3x-ը և 4x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$4\times 3x+4\times 2y=4\times 11,3\times 4x+3\times 9y=3\times 117$$

Պարզեցնել:

$$12x+8y=44,12x+27y=351$$

Հանեք 12x+27y=351 12x+8y=44-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$12x-12x+8y-27y=44-351$$

Գումարեք 12x -12x-ին: 12x-ը և -12x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$8y-27y=44-351$$

Գումարեք 8y -27y-ին:

$$-19y=44-351$$

Գումարեք 44 -351-ին:

$$-19y=-307$$

Բաժանեք երկու կողմերը -19-ի:

$$y=\frac{307}{19}$$

Փոխարինեք \frac{307}{19}-ը y-ով 4x+9y=117-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$4x+9\times \frac{307}{19}=117$$

Բազմապատկեք 9 անգամ \frac{307}{19}:

$$4x+\frac{2763}{19}=117$$

Հանեք \frac{2763}{19} հավասարման երկու կողմից:

$$4x=-\frac{540}{19}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=-\frac{135}{19}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{135}{19},y=\frac{307}{19}$$