Լուծեք {l}{3x+2y=-10}{2x-10y=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = - 10 } \\ { 2 x - 10 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-3$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x+2y=-10,2x-10y=-1$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x+2y=-10$$

Հանեք 2y հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-2y-10$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y-10\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -2y-10:

$$x=-\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}$$

Փոխարինեք \frac{-2y-10}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x-10y=-1:

$$2\left(-\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}\right)-10y=-1$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{-2y-10}{3}:

$$-\frac{4}{3}y-\frac{20}{3}-10y=-1$$

Գումարեք -\frac{4y}{3} -10y-ին:

$$-\frac{34}{3}y-\frac{20}{3}=-1$$

Գումարեք \frac{20}{3} հավասարման երկու կողմին:

$$-\frac{34}{3}y=\frac{17}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{34}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-\frac{1}{2}$$

Փոխարինեք -\frac{1}{2}-ը y-ով x=-\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{10}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{2}{3} անգամ -\frac{1}{2}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=\frac{1-10}{3}$$

Գումարեք -\frac{10}{3} \frac{1}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-3,y=-\frac{1}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x+2y=-10,2x-10y=-1$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{3\left(-10\right)-2\times 2}&-\frac{2}{3\left(-10\right)-2\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-10\right)-2\times 2}&\frac{3}{3\left(-10\right)-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}&\frac{1}{17}\\\frac{1}{17}&-\frac{3}{34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}\left(-10\right)+\frac{1}{17}\left(-1\right)\\\frac{1}{17}\left(-10\right)-\frac{3}{34}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-3,y=-\frac{1}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x+2y=-10,2x-10y=-1$$

3x-ը և 2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$2\times 3x+2\times 2y=2\left(-10\right),3\times 2x+3\left(-10\right)y=3\left(-1\right)$$

Պարզեցնել:

$$6x+4y=-20,6x-30y=-3$$

Հանեք 6x-30y=-3 6x+4y=-20-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$6x-6x+4y+30y=-20+3$$

Գումարեք 6x -6x-ին: 6x-ը և -6x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$4y+30y=-20+3$$

Գումարեք 4y 30y-ին:

$$34y=-20+3$$

Գումարեք -20 3-ին:

$$34y=-17$$

Բաժանեք երկու կողմերը 34-ի:

$$y=-\frac{1}{2}$$

Փոխարինեք -\frac{1}{2}-ը y-ով 2x-10y=-1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$2x-10\left(-\frac{1}{2}\right)=-1$$

Բազմապատկեք -10 անգամ -\frac{1}{2}:

$$2x+5=-1$$

Հանեք 5 հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=-3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-3,y=-\frac{1}{2}$$