Լուծեք {l}{3x+10y=40}{y=3/10x-7}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 10 y = 40 } \\ { y = \frac { 3 } { 10 } x - 7 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{55}{3} = 18\frac{1}{3} \approx 18.333333333$$

$$y = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք \frac{3}{10}x երկու կողմերից:

$$y-\frac{3}{10}x=-7$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x+10y=40,-\frac{3}{10}x+y=-7$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x+10y=40$$

Հանեք 10y հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-10y+40$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+40\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -10y+40:

$$x=-\frac{10}{3}y+\frac{40}{3}$$

Փոխարինեք \frac{-10y+40}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -\frac{3}{10}x+y=-7:

$$-\frac{3}{10}\left(-\frac{10}{3}y+\frac{40}{3}\right)+y=-7$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{10} անգամ \frac{-10y+40}{3}:

$$y-4+y=-7$$

Գումարեք y y-ին:

$$2y-4=-7$$

Գումարեք 4 հավասարման երկու կողմին:

$$2y=-3$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$y=-\frac{3}{2}$$

Փոխարինեք -\frac{3}{2}-ը y-ով x=-\frac{10}{3}y+\frac{40}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{10}{3}\left(-\frac{3}{2}\right)+\frac{40}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{10}{3} անգամ -\frac{3}{2}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=5+\frac{40}{3}$$

Գումարեք \frac{40}{3} 5-ին:

$$x=\frac{55}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{55}{3},y=-\frac{3}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք \frac{3}{10}x երկու կողմերից:

$$y-\frac{3}{10}x=-7$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x+10y=40,-\frac{3}{10}x+y=-7$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&10\\-\frac{3}{10}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\-7\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&10\\-\frac{3}{10}&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-\frac{3}{10}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\-\frac{3}{10}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-\frac{3}{10}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\-7\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-\frac{3}{10}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\-7\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-\frac{3}{10}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\-7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-10\left(-\frac{3}{10}\right)}&-\frac{10}{3-10\left(-\frac{3}{10}\right)}\\-\frac{-\frac{3}{10}}{3-10\left(-\frac{3}{10}\right)}&\frac{3}{3-10\left(-\frac{3}{10}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\-7\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{5}{3}\\\frac{1}{20}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\-7\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 40-\frac{5}{3}\left(-7\right)\\\frac{1}{20}\times 40+\frac{1}{2}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{55}{3}\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{55}{3},y=-\frac{3}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք \frac{3}{10}x երկու կողմերից:

$$y-\frac{3}{10}x=-7$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x+10y=40,-\frac{3}{10}x+y=-7$$

3x-ը և -\frac{3x}{10}-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -\frac{3}{10}-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$-\frac{3}{10}\times 3x-\frac{3}{10}\times 10y=-\frac{3}{10}\times 40,3\left(-\frac{3}{10}\right)x+3y=3\left(-7\right)$$

Պարզեցնել:

$$-\frac{9}{10}x-3y=-12,-\frac{9}{10}x+3y=-21$$

Հանեք -\frac{9}{10}x+3y=-21 -\frac{9}{10}x-3y=-12-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-\frac{9}{10}x+\frac{9}{10}x-3y-3y=-12+21$$

Գումարեք -\frac{9x}{10} \frac{9x}{10}-ին: -\frac{9x}{10}-ը և \frac{9x}{10}-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-3y-3y=-12+21$$

Գումարեք -3y -3y-ին:

$$-6y=-12+21$$

Գումարեք -12 21-ին:

$$-6y=9$$

Բաժանեք երկու կողմերը -6-ի:

$$y=-\frac{3}{2}$$

Փոխարինեք -\frac{3}{2}-ը y-ով -\frac{3}{10}x+y=-7-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-\frac{3}{10}x-\frac{3}{2}=-7$$

Գումարեք \frac{3}{2} հավասարման երկու կողմին:

$$-\frac{3}{10}x=-\frac{11}{2}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{3}{10}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=\frac{55}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{55}{3},y=-\frac{3}{2}$$