Լուծեք {l}{3x+10y=11}{-10x-8y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 10 y = 11 } \\ { - 10 x - 8 y = 14 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-3$$

$$y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x+10y=11,-10x-8y=14$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x+10y=11$$

Հանեք 10y հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-10y+11$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+11\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -10y+11:

$$x=-\frac{10}{3}y+\frac{11}{3}$$

Փոխարինեք \frac{-10y+11}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -10x-8y=14:

$$-10\left(-\frac{10}{3}y+\frac{11}{3}\right)-8y=14$$

Բազմապատկեք -10 անգամ \frac{-10y+11}{3}:

$$\frac{100}{3}y-\frac{110}{3}-8y=14$$

Գումարեք \frac{100y}{3} -8y-ին:

$$\frac{76}{3}y-\frac{110}{3}=14$$

Գումարեք \frac{110}{3} հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{76}{3}y=\frac{152}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{76}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով x=-\frac{10}{3}y+\frac{11}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{10}{3}\times 2+\frac{11}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{10}{3} անգամ 2:

$$x=\frac{-20+11}{3}$$

Գումարեք \frac{11}{3} -\frac{20}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-3,y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x+10y=11,-10x-8y=14$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}&-\frac{10}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}\\-\frac{-10}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}&-\frac{5}{38}\\\frac{5}{38}&\frac{3}{76}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}\times 11-\frac{5}{38}\times 14\\\frac{5}{38}\times 11+\frac{3}{76}\times 14\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-3,y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x+10y=11,-10x-8y=14$$

3x-ը և -10x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -10-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$-10\times 3x-10\times 10y=-10\times 11,3\left(-10\right)x+3\left(-8\right)y=3\times 14$$

Պարզեցնել:

$$-30x-100y=-110,-30x-24y=42$$

Հանեք -30x-24y=42 -30x-100y=-110-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-30x+30x-100y+24y=-110-42$$

Գումարեք -30x 30x-ին: -30x-ը և 30x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-100y+24y=-110-42$$

Գումարեք -100y 24y-ին:

$$-76y=-110-42$$

Գումարեք -110 -42-ին:

$$-76y=-152$$

Բաժանեք երկու կողմերը -76-ի:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով -10x-8y=14-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-10x-8\times 2=14$$

Բազմապատկեք -8 անգամ 2:

$$-10x-16=14$$

Գումարեք 16 հավասարման երկու կողմին:

$$-10x=30$$

Բաժանեք երկու կողմերը -10-ի:

$$x=-3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-3,y=2$$