Լուծեք {l}{3w-2z=5}{w+2z=15}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 w - 2 z = 5 } \\ { w + 2 z = 15 } \end{array} \right.$$

Լուծել w, z-ի համար

$$z=5$$

$$w=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն w-ի համար՝ առանձնացնելով w-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3w-2z=5$$

Գումարեք 2z հավասարման երկու կողմին:

$$3w=2z+5$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$w=\frac{1}{3}\left(2z+5\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ 2z+5:

$$w=\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}$$

Փոխարինեք \frac{2z+5}{3}-ը w-ով մյուս հավասարման մեջ՝ w+2z=15:

$$\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}+2z=15$$

Գումարեք \frac{2z}{3} 2z-ին:

$$\frac{8}{3}z+\frac{5}{3}=15$$

Հանեք \frac{5}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{8}{3}z=\frac{40}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{8}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$z=5$$

Փոխարինեք 5-ը z-ով w=\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես w-ի համար:

$$w=\frac{2}{3}\times 5+\frac{5}{3}$$

Բազմապատկեք \frac{2}{3} անգամ 5:

$$w=\frac{10+5}{3}$$

Գումարեք \frac{5}{3} \frac{10}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$w=5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$w=5,z=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{3\times 2-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 15\\-\frac{1}{8}\times 5+\frac{3}{8}\times 15\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի w և z տարրերը:

$$w=5,z=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

3w-ը և w-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$3w-2z=5,3w+3\times 2z=3\times 15$$

Պարզեցնել:

$$3w-2z=5,3w+6z=45$$

Հանեք 3w+6z=45 3w-2z=5-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$3w-3w-2z-6z=5-45$$

Գումարեք 3w -3w-ին: 3w-ը և -3w-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-2z-6z=5-45$$

Գումարեք -2z -6z-ին:

$$-8z=5-45$$

Գումարեք 5 -45-ին:

$$-8z=-40$$

Բաժանեք երկու կողմերը -8-ի:

$$z=5$$

Փոխարինեք 5-ը z-ով w+2z=15-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես w-ի համար:

$$w+2\times 5=15$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 5:

$$w+10=15$$

Հանեք 10 հավասարման երկու կողմից:

$$w=5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$w=5,z=5$$