Լուծեք {l}{3u+5x=8}{5u+5x=14}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 u + 5 x = 8 } \\ { 5 u + 5 x = 14 } \end{array} \right.$$

Լուծել u, x-ի համար

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$u=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն u-ի համար՝ առանձնացնելով u-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3u+5x=8$$

Հանեք 5x հավասարման երկու կողմից:

$$3u=-5x+8$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$u=\frac{1}{3}\left(-5x+8\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -5x+8:

$$u=-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}$$

Փոխարինեք \frac{-5x+8}{3}-ը u-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 5u+5x=14:

$$5\left(-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}\right)+5x=14$$

Բազմապատկեք 5 անգամ \frac{-5x+8}{3}:

$$-\frac{25}{3}x+\frac{40}{3}+5x=14$$

Գումարեք -\frac{25x}{3} 5x-ին:

$$-\frac{10}{3}x+\frac{40}{3}=14$$

Հանեք \frac{40}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{10}{3}x=\frac{2}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{10}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=-\frac{1}{5}$$

Փոխարինեք -\frac{1}{5}-ը x-ով u=-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես u-ի համար:

$$u=-\frac{5}{3}\left(-\frac{1}{5}\right)+\frac{8}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{5}{3} անգամ -\frac{1}{5}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$u=\frac{1+8}{3}$$

Գումարեք \frac{8}{3} \frac{1}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$u=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 5-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 5-5\times 5}&\frac{3}{3\times 5-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 8+\frac{1}{2}\times 14\\\frac{1}{2}\times 8-\frac{3}{10}\times 14\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի u և x տարրերը:

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

Հանեք 5u+5x=14 3u+5x=8-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$3u-5u+5x-5x=8-14$$

Գումարեք 5x -5x-ին: 5x-ը և -5x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$3u-5u=8-14$$

Գումարեք 3u -5u-ին:

$$-2u=8-14$$

Գումարեք 8 -14-ին:

$$-2u=-6$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$u=3$$

Փոխարինեք 3-ը u-ով 5u+5x=14-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$5\times 3+5x=14$$

Բազմապատկեք 5 անգամ 3:

$$15+5x=14$$

Հանեք 15 հավասարման երկու կողմից:

$$5x=-1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=-\frac{1}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$