Լուծեք {l}{3c+5z=-15}{5c+3z=-9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 c + 5 z = - 15 } \\ { 5 c + 3 z = - 9 } \end{array} \right.$$

Լուծել c, z-ի համար

$$z=-3$$

$$c=0$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն c-ի համար՝ առանձնացնելով c-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3c+5z=-15$$

Հանեք 5z հավասարման երկու կողմից:

$$3c=-5z-15$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$c=\frac{1}{3}\left(-5z-15\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -5z-15:

$$c=-\frac{5}{3}z-5$$

Փոխարինեք -\frac{5z}{3}-5-ը c-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 5c+3z=-9:

$$5\left(-\frac{5}{3}z-5\right)+3z=-9$$

Բազմապատկեք 5 անգամ -\frac{5z}{3}-5:

$$-\frac{25}{3}z-25+3z=-9$$

Գումարեք -\frac{25z}{3} 3z-ին:

$$-\frac{16}{3}z-25=-9$$

Գումարեք 25 հավասարման երկու կողմին:

$$-\frac{16}{3}z=16$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{16}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$z=-3$$

Փոխարինեք -3-ը z-ով c=-\frac{5}{3}z-5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես c-ի համար:

$$c=-\frac{5}{3}\left(-3\right)-5$$

Բազմապատկեք -\frac{5}{3} անգամ -3:

$$c=5-5$$

Գումարեք -5 5-ին:

$$c=0$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$c=0,z=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 3-5\times 5}&\frac{3}{3\times 3-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}&\frac{5}{16}\\\frac{5}{16}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}\left(-15\right)+\frac{5}{16}\left(-9\right)\\\frac{5}{16}\left(-15\right)-\frac{3}{16}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի c և z տարրերը:

$$c=0,z=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

3c-ը և 5c-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$5\times 3c+5\times 5z=5\left(-15\right),3\times 5c+3\times 3z=3\left(-9\right)$$

Պարզեցնել:

$$15c+25z=-75,15c+9z=-27$$

Հանեք 15c+9z=-27 15c+25z=-75-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$15c-15c+25z-9z=-75+27$$

Գումարեք 15c -15c-ին: 15c-ը և -15c-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$25z-9z=-75+27$$

Գումարեք 25z -9z-ին:

$$16z=-75+27$$

Գումարեք -75 27-ին:

$$16z=-48$$

Բաժանեք երկու կողմերը 16-ի:

$$z=-3$$

Փոխարինեք -3-ը z-ով 5c+3z=-9-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես c-ի համար:

$$5c+3\left(-3\right)=-9$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -3:

$$5c-9=-9$$

Գումարեք 9 հավասարման երկու կողմին:

$$5c=0$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$c=0$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$c=0,z=-3$$