Լուծեք {l}{3c+2x=5}{2c+4x=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 c + 2 x = 5 } \\ { 2 c + 4 x = 6 } \end{array} \right.$$

Լուծել c, x-ի համար

$$x=1$$

$$c=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3c+2x=5,2c+4x=6$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն c-ի համար՝ առանձնացնելով c-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3c+2x=5$$

Հանեք 2x հավասարման երկու կողմից:

$$3c=-2x+5$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$c=\frac{1}{3}\left(-2x+5\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -2x+5:

$$c=-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$$

Փոխարինեք \frac{-2x+5}{3}-ը c-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2c+4x=6:

$$2\left(-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\right)+4x=6$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{-2x+5}{3}:

$$-\frac{4}{3}x+\frac{10}{3}+4x=6$$

Գումարեք -\frac{4x}{3} 4x-ին:

$$\frac{8}{3}x+\frac{10}{3}=6$$

Հանեք \frac{10}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{8}{3}x=\frac{8}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{8}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=1$$

Փոխարինեք 1-ը x-ով c=-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես c-ի համար:

$$c=\frac{-2+5}{3}$$

Գումարեք \frac{5}{3} -\frac{2}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$c=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$c=1,x=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3c+2x=5,2c+4x=6$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-2\times 2}&-\frac{2}{3\times 4-2\times 2}\\-\frac{2}{3\times 4-2\times 2}&\frac{3}{3\times 4-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5-\frac{1}{4}\times 6\\-\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{8}\times 6\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի c և x տարրերը:

$$c=1,x=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3c+2x=5,2c+4x=6$$

3c-ը և 2c-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$2\times 3c+2\times 2x=2\times 5,3\times 2c+3\times 4x=3\times 6$$

Պարզեցնել:

$$6c+4x=10,6c+12x=18$$

Հանեք 6c+12x=18 6c+4x=10-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$6c-6c+4x-12x=10-18$$

Գումարեք 6c -6c-ին: 6c-ը և -6c-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$4x-12x=10-18$$

Գումարեք 4x -12x-ին:

$$-8x=10-18$$

Գումարեք 10 -18-ին:

$$-8x=-8$$

Բաժանեք երկու կողմերը -8-ի:

$$x=1$$

Փոխարինեք 1-ը x-ով 2c+4x=6-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես c-ի համար:

$$2c+4=6$$

Հանեք 4 հավասարման երկու կողմից:

$$2c=2$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$c=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$c=1,x=1$$