Լուծեք {l}{3a+b=-3}{2a-b=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 a + b = - 3 } \\ { 2 a - b = - 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել a, b-ի համար

$$a=-\frac{4}{5}=-0.8$$

$$b=-\frac{3}{5}=-0.6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն a-ի համար՝ առանձնացնելով a-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3a+b=-3$$

Հանեք b հավասարման երկու կողմից:

$$3a=-b-3$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$a=\frac{1}{3}\left(-b-3\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -b-3:

$$a=-\frac{1}{3}b-1$$

Փոխարինեք -\frac{b}{3}-1-ը a-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2a-b=-1:

$$2\left(-\frac{1}{3}b-1\right)-b=-1$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -\frac{b}{3}-1:

$$-\frac{2}{3}b-2-b=-1$$

Գումարեք -\frac{2b}{3} -b-ին:

$$-\frac{5}{3}b-2=-1$$

Գումարեք 2 հավասարման երկու կողմին:

$$-\frac{5}{3}b=1$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{5}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$b=-\frac{3}{5}$$

Փոխարինեք -\frac{3}{5}-ը b-ով a=-\frac{1}{3}b-1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես a-ի համար:

$$a=-\frac{1}{3}\left(-\frac{3}{5}\right)-1$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{3} անգամ -\frac{3}{5}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$a=\frac{1}{5}-1$$

Գումարեք -1 \frac{1}{5}-ին:

$$a=-\frac{4}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 մատրիցայի՝ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) դեպքում հակադարձ մատրիցան հետևյալն է՝ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ուստի մատրիցայի հավասարումը կարելի է վերագրել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-3\right)+\frac{1}{5}\left(-1\right)\\\frac{2}{5}\left(-3\right)-\frac{3}{5}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5}\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի a և b տարրերը:

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

3a-ը և 2a-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$2\times 3a+2b=2\left(-3\right),3\times 2a+3\left(-1\right)b=3\left(-1\right)$$

Պարզեցնել:

$$6a+2b=-6,6a-3b=-3$$

Հանեք 6a-3b=-3 6a+2b=-6-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$6a-6a+2b+3b=-6+3$$

Գումարեք 6a -6a-ին: 6a-ը և -6a-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$2b+3b=-6+3$$

Գումարեք 2b 3b-ին:

$$5b=-6+3$$

Գումարեք -6 3-ին:

$$5b=-3$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$b=-\frac{3}{5}$$

Փոխարինեք -\frac{3}{5}-ը b-ով 2a-b=-1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես a-ի համար:

$$2a-\left(-\frac{3}{5}\right)=-1$$

Հանեք \frac{3}{5} հավասարման երկու կողմից:

$$2a=-\frac{8}{5}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$a=-\frac{4}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$