Լուծեք {l}{3A-13c=-255}{31A-6c=-180}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 A - 13 c = - 255 } \\ { 31 A - 6 c = - 180 } \end{array} \right.$$

Լուծել A, c-ի համար

$$A = -\frac{162}{77} = -2\frac{8}{77} \approx -2.103896104$$

$$c = \frac{1473}{77} = 19\frac{10}{77} \approx 19.12987013$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն A-ի համար՝ առանձնացնելով A-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3A-13c=-255$$

Գումարեք 13c հավասարման երկու կողմին:

$$3A=13c-255$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$A=\frac{1}{3}\left(13c-255\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ 13c-255:

$$A=\frac{13}{3}c-85$$

Փոխարինեք \frac{13c}{3}-85-ը A-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 31A-6c=-180:

$$31\left(\frac{13}{3}c-85\right)-6c=-180$$

Բազմապատկեք 31 անգամ \frac{13c}{3}-85:

$$\frac{403}{3}c-2635-6c=-180$$

Գումարեք \frac{403c}{3} -6c-ին:

$$\frac{385}{3}c-2635=-180$$

Գումարեք 2635 հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{385}{3}c=2455$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{385}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$c=\frac{1473}{77}$$

Փոխարինեք \frac{1473}{77}-ը c-ով A=\frac{13}{3}c-85-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես A-ի համար:

$$A=\frac{13}{3}\times \frac{1473}{77}-85$$

Բազմապատկեք \frac{13}{3} անգամ \frac{1473}{77}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$A=\frac{6383}{77}-85$$

Գումարեք -85 \frac{6383}{77}-ին:

$$A=-\frac{162}{77}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}&-\frac{-13}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}\\-\frac{31}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}&\frac{3}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{385}&\frac{13}{385}\\-\frac{31}{385}&\frac{3}{385}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{385}\left(-255\right)+\frac{13}{385}\left(-180\right)\\-\frac{31}{385}\left(-255\right)+\frac{3}{385}\left(-180\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{162}{77}\\\frac{1473}{77}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի A և c տարրերը:

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

3A-ը և 31A-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 31-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$31\times 3A+31\left(-13\right)c=31\left(-255\right),3\times 31A+3\left(-6\right)c=3\left(-180\right)$$

Պարզեցնել:

$$93A-403c=-7905,93A-18c=-540$$

Հանեք 93A-18c=-540 93A-403c=-7905-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$93A-93A-403c+18c=-7905+540$$

Գումարեք 93A -93A-ին: 93A-ը և -93A-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-403c+18c=-7905+540$$

Գումարեք -403c 18c-ին:

$$-385c=-7905+540$$

Գումարեք -7905 540-ին:

$$-385c=-7365$$

Բաժանեք երկու կողմերը -385-ի:

$$c=\frac{1473}{77}$$

Փոխարինեք \frac{1473}{77}-ը c-ով 31A-6c=-180-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես A-ի համար:

$$31A-6\times \frac{1473}{77}=-180$$

Բազմապատկեք -6 անգամ \frac{1473}{77}:

$$31A-\frac{8838}{77}=-180$$

Գումարեք \frac{8838}{77} հավասարման երկու կողմին:

$$31A=-\frac{5022}{77}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 31-ի:

$$A=-\frac{162}{77}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$