Լուծեք {l}{3(2x-5)+2y=-41}{x-3y/9-y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 ( 2 x - 5 ) + 2 y = - 41 } \\ { \frac { x - 3 y } { 9 } - y = 5 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-3$$

$$y=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 2x-5-ով բազմապատկելու համար:

$$6x-15+2y=-41$$

Հավելել 15-ը երկու կողմերում:

$$6x+2y=-41+15$$

Գումարեք -41 և 15 և ստացեք -26:

$$6x+2y=-26$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 9-ով:

$$x-3y-9y=45$$

Համակցեք -3y և -9y և ստացեք -12y:

$$x-12y=45$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$6x+2y=-26,x-12y=45$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$6x+2y=-26$$

Հանեք 2y հավասարման երկու կողմից:

$$6x=-2y-26$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$x=\frac{1}{6}\left(-2y-26\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{6} անգամ -2y-26:

$$x=-\frac{1}{3}y-\frac{13}{3}$$

Փոխարինեք \frac{-y-13}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x-12y=45:

$$-\frac{1}{3}y-\frac{13}{3}-12y=45$$

Գումարեք -\frac{y}{3} -12y-ին:

$$-\frac{37}{3}y-\frac{13}{3}=45$$

Գումարեք \frac{13}{3} հավասարման երկու կողմին:

$$-\frac{37}{3}y=\frac{148}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{37}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-4$$

Փոխարինեք -4-ը y-ով x=-\frac{1}{3}y-\frac{13}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{3}\left(-4\right)-\frac{13}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{3} անգամ -4:

$$x=\frac{4-13}{3}$$

Գումարեք -\frac{13}{3} \frac{4}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-3,y=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 2x-5-ով բազմապատկելու համար:

$$6x-15+2y=-41$$

Հավելել 15-ը երկու կողմերում:

$$6x+2y=-41+15$$

Գումարեք -41 և 15 և ստացեք -26:

$$6x+2y=-26$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 9-ով:

$$x-3y-9y=45$$

Համակցեք -3y և -9y և ստացեք -12y:

$$x-12y=45$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$6x+2y=-26,x-12y=45$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{6\left(-12\right)-2}&-\frac{2}{6\left(-12\right)-2}\\-\frac{1}{6\left(-12\right)-2}&\frac{6}{6\left(-12\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{37}&\frac{1}{37}\\\frac{1}{74}&-\frac{3}{37}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{37}\left(-26\right)+\frac{1}{37}\times 45\\\frac{1}{74}\left(-26\right)-\frac{3}{37}\times 45\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-4\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-3,y=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 2x-5-ով բազմապատկելու համար:

$$6x-15+2y=-41$$

Հավելել 15-ը երկու կողմերում:

$$6x+2y=-41+15$$

Գումարեք -41 և 15 և ստացեք -26:

$$6x+2y=-26$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 9-ով:

$$x-3y-9y=45$$

Համակցեք -3y և -9y և ստացեք -12y:

$$x-12y=45$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$6x+2y=-26,x-12y=45$$

6x-ը և x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 6-ով:

$$6x+2y=-26,6x+6\left(-12\right)y=6\times 45$$

Պարզեցնել:

$$6x+2y=-26,6x-72y=270$$

Հանեք 6x-72y=270 6x+2y=-26-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$6x-6x+2y+72y=-26-270$$

Գումարեք 6x -6x-ին: 6x-ը և -6x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$2y+72y=-26-270$$

Գումարեք 2y 72y-ին:

$$74y=-26-270$$

Գումարեք -26 -270-ին:

$$74y=-296$$

Բաժանեք երկու կողմերը 74-ի:

$$y=-4$$

Փոխարինեք -4-ը y-ով x-12y=45-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x-12\left(-4\right)=45$$

Բազմապատկեք -12 անգամ -4:

$$x+48=45$$

Հանեք 48 հավասարման երկու կողմից:

$$x=-3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-3,y=-4$$