Լուծեք {l}{25x+y=9}{1.6x+0.2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 25 x + y = 9 } \\ { 1.6 x + 0.2 y = 13 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = -\frac{56}{17} = -3\frac{5}{17} \approx -3.294117647$$

$$y = \frac{1553}{17} = 91\frac{6}{17} \approx 91.352941176$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$25x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$25x+y=9$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$25x=-y+9$$

Բաժանեք երկու կողմերը 25-ի:

$$x=\frac{1}{25}\left(-y+9\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{25} անգամ -y+9:

$$x=-\frac{1}{25}y+\frac{9}{25}$$

Փոխարինեք \frac{-y+9}{25}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 1.6x+0.2y=13:

$$1.6\left(-\frac{1}{25}y+\frac{9}{25}\right)+0.2y=13$$

Բազմապատկեք 1.6 անգամ \frac{-y+9}{25}:

$$-\frac{8}{125}y+\frac{72}{125}+0.2y=13$$

Գումարեք -\frac{8y}{125} \frac{y}{5}-ին:

$$\frac{17}{125}y+\frac{72}{125}=13$$

Հանեք \frac{72}{125} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{17}{125}y=\frac{1553}{125}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{17}{125}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{1553}{17}$$

Փոխարինեք \frac{1553}{17}-ը y-ով x=-\frac{1}{25}y+\frac{9}{25}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{25}\times \frac{1553}{17}+\frac{9}{25}$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{25} անգամ \frac{1553}{17}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{1553}{425}+\frac{9}{25}$$

Գումարեք \frac{9}{25} -\frac{1553}{425}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-\frac{56}{17}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{56}{17},y=\frac{1553}{17}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$25x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{25\times 0.2-1.6}&-\frac{1}{25\times 0.2-1.6}\\-\frac{1.6}{25\times 0.2-1.6}&\frac{25}{25\times 0.2-1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&-\frac{5}{17}\\-\frac{8}{17}&\frac{125}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}\times 9-\frac{5}{17}\times 13\\-\frac{8}{17}\times 9+\frac{125}{17}\times 13\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{56}{17}\\\frac{1553}{17}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{56}{17},y=\frac{1553}{17}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$25x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

25x-ը և \frac{8x}{5}-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1.6-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 25-ով:

$$1.6\times 25x+1.6y=1.6\times 9,25\times 1.6x+25\times 0.2y=25\times 13$$

Պարզեցնել:

$$40x+1.6y=14.4,40x+5y=325$$

Հանեք 40x+5y=325 40x+1.6y=14.4-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$40x-40x+1.6y-5y=14.4-325$$

Գումարեք 40x -40x-ին: 40x-ը և -40x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$1.6y-5y=14.4-325$$

Գումարեք \frac{8y}{5} -5y-ին:

$$-3.4y=14.4-325$$

Գումարեք 14.4 -325-ին:

$$-3.4y=-310.6$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -3.4-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{1553}{17}$$

Փոխարինեք \frac{1553}{17}-ը y-ով 1.6x+0.2y=13-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$1.6x+0.2\times \frac{1553}{17}=13$$

Բազմապատկեք 0.2 անգամ \frac{1553}{17}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$1.6x+\frac{1553}{85}=13$$

Հանեք \frac{1553}{85} հավասարման երկու կողմից:

$$1.6x=-\frac{448}{85}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը 1.6-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=-\frac{56}{17}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{56}{17},y=\frac{1553}{17}$$