Լուծեք {l}{25c+22T=152000}{11c+12T=75000}

$$\left. \begin{array} { l } { 25 c + 22 T = 152000 } \\ { 11 c + 12 T = 75000 } \end{array} \right.$$

Լուծել c, T-ի համար

$$c=3000$$

$$T=3500$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն c-ի համար՝ առանձնացնելով c-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$25c+22T=152000$$

Հանեք 22T հավասարման երկու կողմից:

$$25c=-22T+152000$$

Բաժանեք երկու կողմերը 25-ի:

$$c=\frac{1}{25}\left(-22T+152000\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{25} անգամ -22T+152000:

$$c=-\frac{22}{25}T+6080$$

Փոխարինեք -\frac{22T}{25}+6080-ը c-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 11c+12T=75000:

$$11\left(-\frac{22}{25}T+6080\right)+12T=75000$$

Բազմապատկեք 11 անգամ -\frac{22T}{25}+6080:

$$-\frac{242}{25}T+66880+12T=75000$$

Գումարեք -\frac{242T}{25} 12T-ին:

$$\frac{58}{25}T+66880=75000$$

Հանեք 66880 հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{58}{25}T=8120$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{58}{25}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$T=3500$$

Փոխարինեք 3500-ը T-ով c=-\frac{22}{25}T+6080-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես c-ի համար:

$$c=-\frac{22}{25}\times 3500+6080$$

Բազմապատկեք -\frac{22}{25} անգամ 3500:

$$c=-3080+6080$$

Գումարեք 6080 -3080-ին:

$$c=3000$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$c=3000,T=3500$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{25\times 12-22\times 11}&-\frac{22}{25\times 12-22\times 11}\\-\frac{11}{25\times 12-22\times 11}&\frac{25}{25\times 12-22\times 11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{29}&-\frac{11}{29}\\-\frac{11}{58}&\frac{25}{58}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{29}\times 152000-\frac{11}{29}\times 75000\\-\frac{11}{58}\times 152000+\frac{25}{58}\times 75000\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3000\\3500\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի c և T տարրերը:

$$c=3000,T=3500$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

25c-ը և 11c-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 11-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 25-ով:

$$11\times 25c+11\times 22T=11\times 152000,25\times 11c+25\times 12T=25\times 75000$$

Պարզեցնել:

$$275c+242T=1672000,275c+300T=1875000$$

Հանեք 275c+300T=1875000 275c+242T=1672000-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$275c-275c+242T-300T=1672000-1875000$$

Գումարեք 275c -275c-ին: 275c-ը և -275c-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$242T-300T=1672000-1875000$$

Գումարեք 242T -300T-ին:

$$-58T=1672000-1875000$$

Գումարեք 1672000 -1875000-ին:

$$-58T=-203000$$

Բաժանեք երկու կողմերը -58-ի:

$$T=3500$$

Փոխարինեք 3500-ը T-ով 11c+12T=75000-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես c-ի համար:

$$11c+12\times 3500=75000$$

Բազմապատկեք 12 անգամ 3500:

$$11c+42000=75000$$

Հանեք 42000 հավասարման երկու կողմից:

$$11c=33000$$

Բաժանեք երկու կողմերը 11-ի:

$$c=3000$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$c=3000,T=3500$$