Լուծեք {l}{21858x+16674y=423540000}{9609x+382965y=1612260000}

$$\left. \begin{array} { l } { 21858 x + 16674 y = 423540000 } \\ { 9609 x + 382965 y = 1612260000 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{2095227500}{127131} = 16480\frac{108620}{127131} \approx 16480.854394286$$

$$y = \frac{482642500}{127131} = 3796\frac{53224}{127131} \approx 3796.418654773$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$21858x+16674y=423540000,9609x+382965y=1612260000$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$21858x+16674y=423540000$$

Հանեք 16674y հավասարման երկու կողմից:

$$21858x=-16674y+423540000$$

Բաժանեք երկու կողմերը 21858-ի:

$$x=\frac{1}{21858}\left(-16674y+423540000\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{21858} անգամ -16674y+423540000:

$$x=-\frac{2779}{3643}y+\frac{70590000}{3643}$$

Փոխարինեք \frac{-2779y+70590000}{3643}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 9609x+382965y=1612260000:

$$9609\left(-\frac{2779}{3643}y+\frac{70590000}{3643}\right)+382965y=1612260000$$

Բազմապատկեք 9609 անգամ \frac{-2779y+70590000}{3643}:

$$-\frac{26703411}{3643}y+\frac{678299310000}{3643}+382965y=1612260000$$

Գումարեք -\frac{26703411y}{3643} 382965y-ին:

$$\frac{1368438084}{3643}y+\frac{678299310000}{3643}=1612260000$$

Հանեք \frac{678299310000}{3643} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{1368438084}{3643}y=\frac{5195163870000}{3643}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{1368438084}{3643}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{482642500}{127131}$$

Փոխարինեք \frac{482642500}{127131}-ը y-ով x=-\frac{2779}{3643}y+\frac{70590000}{3643}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{2779}{3643}\times \frac{482642500}{127131}+\frac{70590000}{3643}$$

Բազմապատկեք -\frac{2779}{3643} անգամ \frac{482642500}{127131}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{1341263507500}{463138233}+\frac{70590000}{3643}$$

Գումարեք \frac{70590000}{3643} -\frac{1341263507500}{463138233}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{2095227500}{127131}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{2095227500}{127131},y=\frac{482642500}{127131}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$21858x+16674y=423540000,9609x+382965y=1612260000$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}21858&16674\\9609&382965\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}423540000\\1612260000\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}21858&16674\\9609&382965\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}21858&16674\\9609&382965\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21858&16674\\9609&382965\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21858&16674\\9609&382965\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}423540000\\1612260000\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21858&16674\\9609&382965\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}423540000\\1612260000\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21858&16674\\9609&382965\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}423540000\\1612260000\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{382965}{21858\times 382965-16674\times 9609}&-\frac{16674}{21858\times 382965-16674\times 9609}\\-\frac{9609}{21858\times 382965-16674\times 9609}&\frac{21858}{21858\times 382965-16674\times 9609}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}423540000\\1612260000\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{127655}{2736876168}&-\frac{2779}{1368438084}\\-\frac{3203}{2736876168}&\frac{3643}{1368438084}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}423540000\\1612260000\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{127655}{2736876168}\times 423540000-\frac{2779}{1368438084}\times 1612260000\\-\frac{3203}{2736876168}\times 423540000+\frac{3643}{1368438084}\times 1612260000\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2095227500}{127131}\\\frac{482642500}{127131}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{2095227500}{127131},y=\frac{482642500}{127131}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$21858x+16674y=423540000,9609x+382965y=1612260000$$

21858x-ը և 9609x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 9609-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 21858-ով:

$$9609\times 21858x+9609\times 16674y=9609\times 423540000,21858\times 9609x+21858\times 382965y=21858\times 1612260000$$

Պարզեցնել:

$$210033522x+160220466y=4069795860000,210033522x+8370848970y=35240779080000$$

Հանեք 210033522x+8370848970y=35240779080000 210033522x+160220466y=4069795860000-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$210033522x-210033522x+160220466y-8370848970y=4069795860000-35240779080000$$

Գումարեք 210033522x -210033522x-ին: 210033522x-ը և -210033522x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$160220466y-8370848970y=4069795860000-35240779080000$$

Գումարեք 160220466y -8370848970y-ին:

$$-8210628504y=4069795860000-35240779080000$$

Գումարեք 4069795860000 -35240779080000-ին:

$$-8210628504y=-31170983220000$$

Բաժանեք երկու կողմերը -8210628504-ի:

$$y=\frac{482642500}{127131}$$

Փոխարինեք \frac{482642500}{127131}-ը y-ով 9609x+382965y=1612260000-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$9609x+382965\times \frac{482642500}{127131}=1612260000$$

Բազմապատկեք 382965 անգամ \frac{482642500}{127131}:

$$9609x+\frac{61611728337500}{42377}=1612260000$$

Հանեք \frac{61611728337500}{42377} հավասարման երկու կողմից:

$$9609x=\frac{6711013682500}{42377}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 9609-ի:

$$x=\frac{2095227500}{127131}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{2095227500}{127131},y=\frac{482642500}{127131}$$