Լուծեք {l}{2y=3x-4}{2y=x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 y = 3 x - 4 } \\ { 2 y = x + 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$y = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4} = 1.75$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 3x երկու կողմերից:

$$2y-3x=-4$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք x երկու կողմերից:

$$2y-x=1$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2y-3x=-4,2y-x=1$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2y-3x=-4$$

Գումարեք 3x հավասարման երկու կողմին:

$$2y=3x-4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-4\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ 3x-4:

$$y=\frac{3}{2}x-2$$

Փոխարինեք \frac{3x}{2}-2-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2y-x=1:

$$2\left(\frac{3}{2}x-2\right)-x=1$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{3x}{2}-2:

$$3x-4-x=1$$

Գումարեք 3x -x-ին:

$$2x-4=1$$

Գումարեք 4 հավասարման երկու կողմին:

$$2x=5$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{5}{2}$$

Փոխարինեք \frac{5}{2}-ը x-ով y=\frac{3}{2}x-2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=\frac{3}{2}\times \frac{5}{2}-2$$

Բազմապատկեք \frac{3}{2} անգամ \frac{5}{2}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$y=\frac{15}{4}-2$$

Գումարեք -2 \frac{15}{4}-ին:

$$y=\frac{7}{4}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=\frac{7}{4},x=\frac{5}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 3x երկու կողմերից:

$$2y-3x=-4$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք x երկու կողմերից:

$$2y-x=1$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2y-3x=-4,2y-x=1$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-4\right)+\frac{3}{4}\\-\frac{1}{2}\left(-4\right)+\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4}\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=\frac{7}{4},x=\frac{5}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 3x երկու կողմերից:

$$2y-3x=-4$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք x երկու կողմերից:

$$2y-x=1$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2y-3x=-4,2y-x=1$$

Հանեք 2y-x=1 2y-3x=-4-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2y-2y-3x+x=-4-1$$

Գումարեք 2y -2y-ին: 2y-ը և -2y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-3x+x=-4-1$$

Գումարեք -3x x-ին:

$$-2x=-4-1$$

Գումարեք -4 -1-ին:

$$-2x=-5$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$x=\frac{5}{2}$$

Փոխարինեք \frac{5}{2}-ը x-ով 2y-x=1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$2y-\frac{5}{2}=1$$

Գումարեք \frac{5}{2} հավասարման երկու կողմին:

$$2y=\frac{7}{2}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$y=\frac{7}{4}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=\frac{7}{4},x=\frac{5}{2}$$