Լուծեք {l}{2x_{1}+3x_{2}=7}{4x_{1}-4x_{2}=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 7 } \\ { 4 x _ { 1 } - 4 x _ { 2 } = - 6 } \end{array} \right.$$

Լուծել x_1, x_2-ի համար

$$x_{1}=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x_{2}=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x_{1}-ի համար՝ առանձնացնելով x_{1}-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x_{1}+3x_{2}=7$$

Հանեք 3x_{2} հավասարման երկու կողմից:

$$2x_{1}=-3x_{2}+7$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x_{1}=\frac{1}{2}\left(-3x_{2}+7\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -3x_{2}+7:

$$x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}$$

Փոխարինեք \frac{-3x_{2}+7}{2}-ը x_{1}-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 4x_{1}-4x_{2}=-6:

$$4\left(-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}\right)-4x_{2}=-6$$

Բազմապատկեք 4 անգամ \frac{-3x_{2}+7}{2}:

$$-6x_{2}+14-4x_{2}=-6$$

Գումարեք -6x_{2} -4x_{2}-ին:

$$-10x_{2}+14=-6$$

Հանեք 14 հավասարման երկու կողմից:

$$-10x_{2}=-20$$

Բաժանեք երկու կողմերը -10-ի:

$$x_{2}=2$$

Փոխարինեք 2-ը x_{2}-ով x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x_{1}-ի համար:

$$x_{1}=-\frac{3}{2}\times 2+\frac{7}{2}$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{2} անգամ 2:

$$x_{1}=-3+\frac{7}{2}$$

Գումարեք \frac{7}{2} -3-ին:

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 7+\frac{3}{20}\left(-6\right)\\\frac{1}{5}\times 7-\frac{1}{10}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x_{1} և x_{2} տարրերը:

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

2x_{1}-ը և 4x_{1}-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$4\times 2x_{1}+4\times 3x_{2}=4\times 7,2\times 4x_{1}+2\left(-4\right)x_{2}=2\left(-6\right)$$

Պարզեցնել:

$$8x_{1}+12x_{2}=28,8x_{1}-8x_{2}=-12$$

Հանեք 8x_{1}-8x_{2}=-12 8x_{1}+12x_{2}=28-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$8x_{1}-8x_{1}+12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

Գումարեք 8x_{1} -8x_{1}-ին: 8x_{1}-ը և -8x_{1}-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

Գումարեք 12x_{2} 8x_{2}-ին:

$$20x_{2}=28+12$$

Գումարեք 28 12-ին:

$$20x_{2}=40$$

Բաժանեք երկու կողմերը 20-ի:

$$x_{2}=2$$

Փոխարինեք 2-ը x_{2}-ով 4x_{1}-4x_{2}=-6-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x_{1}-ի համար:

$$4x_{1}-4\times 2=-6$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 2:

$$4x_{1}-8=-6$$

Գումարեք 8 հավասարման երկու կողմին:

$$4x_{1}=2$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$