Լուծեք {l}{2x-y=0}{5x-2y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = 0 } \\ { 5 x - 2 y = 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=1$$

$$y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x-y=0,5x-2y=1$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x-y=0$$

Գումարեք y հավասարման երկու կողմին:

$$2x=y$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}y$$

Փոխարինեք \frac{y}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 5x-2y=1:

$$5\times \frac{1}{2}y-2y=1$$

Բազմապատկեք 5 անգամ \frac{y}{2}:

$$\frac{5}{2}y-2y=1$$

Գումարեք \frac{5y}{2} -2y-ին:

$$\frac{1}{2}y=1$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 2-ով:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով x=\frac{1}{2}y-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{1}{2}\times 2$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ 2:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x-y=0,5x-2y=1$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&-1\\5&-2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{2\left(-2\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-2\right)-\left(-5\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&1\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=1,y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x-y=0,5x-2y=1$$

2x-ը և 5x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$5\times 2x+5\left(-1\right)y=0,2\times 5x+2\left(-2\right)y=2$$

Պարզեցնել:

$$10x-5y=0,10x-4y=2$$

Հանեք 10x-4y=2 10x-5y=0-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$10x-10x-5y+4y=-2$$

Գումարեք 10x -10x-ին: 10x-ը և -10x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-5y+4y=-2$$

Գումարեք -5y 4y-ին:

$$-y=-2$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով 5x-2y=1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$5x-2\times 2=1$$

Բազմապատկեք -2 անգամ 2:

$$5x-4=1$$

Գումարեք 4 հավասարման երկու կողմին:

$$5x=5$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=2$$