Լուծեք {l}{2x-5y=100}{4x+y=120}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 100 } \\ { 4 x + y = 120 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{350}{11} = 31\frac{9}{11} \approx 31.818181818$$

$$y = -\frac{80}{11} = -7\frac{3}{11} \approx -7.272727273$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x-5y=100,4x+y=120$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x-5y=100$$

Գումարեք 5y հավասարման երկու կողմին:

$$2x=5y+100$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+100\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ 100+5y:

$$x=\frac{5}{2}y+50$$

Փոխարինեք 50+\frac{5y}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 4x+y=120:

$$4\left(\frac{5}{2}y+50\right)+y=120$$

Բազմապատկեք 4 անգամ 50+\frac{5y}{2}:

$$10y+200+y=120$$

Գումարեք 10y y-ին:

$$11y+200=120$$

Հանեք 200 հավասարման երկու կողմից:

$$11y=-80$$

Բաժանեք երկու կողմերը 11-ի:

$$y=-\frac{80}{11}$$

Փոխարինեք -\frac{80}{11}-ը y-ով x=\frac{5}{2}y+50-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{5}{2}\left(-\frac{80}{11}\right)+50$$

Բազմապատկեք \frac{5}{2} անգամ -\frac{80}{11}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{200}{11}+50$$

Գումարեք 50 -\frac{200}{11}-ին:

$$x=\frac{350}{11}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{350}{11},y=-\frac{80}{11}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x-5y=100,4x+y=120$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{2-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-5\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}&\frac{5}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}\times 100+\frac{5}{22}\times 120\\-\frac{2}{11}\times 100+\frac{1}{11}\times 120\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{350}{11}\\-\frac{80}{11}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{350}{11},y=-\frac{80}{11}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x-5y=100,4x+y=120$$

2x-ը և 4x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$4\times 2x+4\left(-5\right)y=4\times 100,2\times 4x+2y=2\times 120$$

Պարզեցնել:

$$8x-20y=400,8x+2y=240$$

Հանեք 8x+2y=240 8x-20y=400-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$8x-8x-20y-2y=400-240$$

Գումարեք 8x -8x-ին: 8x-ը և -8x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-20y-2y=400-240$$

Գումարեք -20y -2y-ին:

$$-22y=400-240$$

Գումարեք 400 -240-ին:

$$-22y=160$$

Բաժանեք երկու կողմերը -22-ի:

$$y=-\frac{80}{11}$$

Փոխարինեք -\frac{80}{11}-ը y-ով 4x+y=120-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$4x-\frac{80}{11}=120$$

Գումարեք \frac{80}{11} հավասարման երկու կողմին:

$$4x=\frac{1400}{11}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=\frac{350}{11}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{350}{11},y=-\frac{80}{11}$$