Լուծեք {l}{2x-5y=10}{4x+y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 10 } \\ { 4 x + y = 2 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=\frac{10}{11}\approx 0.909090909$$

$$y = -\frac{18}{11} = -1\frac{7}{11} \approx -1.636363636$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x-5y=10,4x+y=2$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x-5y=10$$

Գումարեք 5y հավասարման երկու կողմին:

$$2x=5y+10$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+10\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ 10+5y:

$$x=\frac{5}{2}y+5$$

Փոխարինեք 5+\frac{5y}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 4x+y=2:

$$4\left(\frac{5}{2}y+5\right)+y=2$$

Բազմապատկեք 4 անգամ 5+\frac{5y}{2}:

$$10y+20+y=2$$

Գումարեք 10y y-ին:

$$11y+20=2$$

Հանեք 20 հավասարման երկու կողմից:

$$11y=-18$$

Բաժանեք երկու կողմերը 11-ի:

$$y=-\frac{18}{11}$$

Փոխարինեք -\frac{18}{11}-ը y-ով x=\frac{5}{2}y+5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{5}{2}\left(-\frac{18}{11}\right)+5$$

Բազմապատկեք \frac{5}{2} անգամ -\frac{18}{11}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{45}{11}+5$$

Գումարեք 5 -\frac{45}{11}-ին:

$$x=\frac{10}{11}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{10}{11},y=-\frac{18}{11}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x-5y=10,4x+y=2$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 մատրիցայի՝ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) դեպքում հակադարձ մատրիցան հետևյալն է՝ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ուստի մատրիցայի հավասարումը կարելի է վերագրել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{2-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-5\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}&\frac{5}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}\times 10+\frac{5}{22}\times 2\\-\frac{2}{11}\times 10+\frac{1}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{11}\\-\frac{18}{11}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{10}{11},y=-\frac{18}{11}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x-5y=10,4x+y=2$$

2x-ը և 4x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$4\times 2x+4\left(-5\right)y=4\times 10,2\times 4x+2y=2\times 2$$

Պարզեցնել:

$$8x-20y=40,8x+2y=4$$

Հանեք 8x+2y=4 8x-20y=40-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$8x-8x-20y-2y=40-4$$

Գումարեք 8x -8x-ին: 8x-ը և -8x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-20y-2y=40-4$$

Գումարեք -20y -2y-ին:

$$-22y=40-4$$

Գումարեք 40 -4-ին:

$$-22y=36$$

Բաժանեք երկու կողմերը -22-ի:

$$y=-\frac{18}{11}$$

Փոխարինեք -\frac{18}{11}-ը y-ով 4x+y=2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$4x-\frac{18}{11}=2$$

Գումարեք \frac{18}{11} հավասարման երկու կողմին:

$$4x=\frac{40}{11}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=\frac{10}{11}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{10}{11},y=-\frac{18}{11}$$