Լուծեք {l}{2x-3y=8}{5x-y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 8 } \\ { 5 x - y = 10 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{22}{13} = 1\frac{9}{13} \approx 1.692307692$$

$$y = -\frac{20}{13} = -1\frac{7}{13} \approx -1.538461538$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x-3y=8,5x-y=10$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x-3y=8$$

Գումարեք 3y հավասարման երկու կողմին:

$$2x=3y+8$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+8\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ 3y+8:

$$x=\frac{3}{2}y+4$$

Փոխարինեք \frac{3y}{2}+4-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 5x-y=10:

$$5\left(\frac{3}{2}y+4\right)-y=10$$

Բազմապատկեք 5 անգամ \frac{3y}{2}+4:

$$\frac{15}{2}y+20-y=10$$

Գումարեք \frac{15y}{2} -y-ին:

$$\frac{13}{2}y+20=10$$

Հանեք 20 հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{13}{2}y=-10$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{13}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-\frac{20}{13}$$

Փոխարինեք -\frac{20}{13}-ը y-ով x=\frac{3}{2}y+4-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{20}{13}\right)+4$$

Բազմապատկեք \frac{3}{2} անգամ -\frac{20}{13}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{30}{13}+4$$

Գումարեք 4 -\frac{30}{13}-ին:

$$x=\frac{22}{13}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{22}{13},y=-\frac{20}{13}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x-3y=8,5x-y=10$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 8+\frac{3}{13}\times 10\\-\frac{5}{13}\times 8+\frac{2}{13}\times 10\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{13}\\-\frac{20}{13}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{22}{13},y=-\frac{20}{13}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x-3y=8,5x-y=10$$

2x-ը և 5x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$5\times 2x+5\left(-3\right)y=5\times 8,2\times 5x+2\left(-1\right)y=2\times 10$$

Պարզեցնել:

$$10x-15y=40,10x-2y=20$$

Հանեք 10x-2y=20 10x-15y=40-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$10x-10x-15y+2y=40-20$$

Գումարեք 10x -10x-ին: 10x-ը և -10x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-15y+2y=40-20$$

Գումարեք -15y 2y-ին:

$$-13y=40-20$$

Գումարեք 40 -20-ին:

$$-13y=20$$

Բաժանեք երկու կողմերը -13-ի:

$$y=-\frac{20}{13}$$

Փոխարինեք -\frac{20}{13}-ը y-ով 5x-y=10-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$5x-\left(-\frac{20}{13}\right)=10$$

Հանեք \frac{20}{13} հավասարման երկու կողմից:

$$5x=\frac{110}{13}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{22}{13}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{22}{13},y=-\frac{20}{13}$$