Լուծեք {l}{2x-2+4y=1/2}{8(y-1/2)=9(x+1)-4}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 2 + 4 y = \frac { 1 } { 2 } } \\ { 8 ( y - \frac { 1 } { 2 } ) = 9 ( x + 1 ) - 4 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-\frac{4}{13}\approx -0.307692308$$

$$y=\frac{81}{104}\approx 0.778846154$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել 2-ը երկու կողմերում:

$$2x+4y=\frac{1}{2}+2$$

Գումարեք \frac{1}{2} և 2 և ստացեք \frac{5}{2}:

$$2x+4y=\frac{5}{2}$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 8 y-\frac{1}{2}-ով բազմապատկելու համար:

$$8y-4=9\left(x+1\right)-4$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 9 x+1-ով բազմապատկելու համար:

$$8y-4=9x+9-4$$

Հանեք 4 9-ից և ստացեք 5:

$$8y-4=9x+5$$

Հանեք 9x երկու կողմերից:

$$8y-4-9x=5$$

Հավելել 4-ը երկու կողմերում:

$$8y-9x=5+4$$

Գումարեք 5 և 4 և ստացեք 9:

$$8y-9x=9$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+4y=\frac{5}{2},-9x+8y=9$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+4y=\frac{5}{2}$$

Հանեք 4y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-4y+\frac{5}{2}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+\frac{5}{2}\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -4y+\frac{5}{2}:

$$x=-2y+\frac{5}{4}$$

Փոխարինեք -2y+\frac{5}{4}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -9x+8y=9:

$$-9\left(-2y+\frac{5}{4}\right)+8y=9$$

Բազմապատկեք -9 անգամ -2y+\frac{5}{4}:

$$18y-\frac{45}{4}+8y=9$$

Գումարեք 18y 8y-ին:

$$26y-\frac{45}{4}=9$$

Գումարեք \frac{45}{4} հավասարման երկու կողմին:

$$26y=\frac{81}{4}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 26-ի:

$$y=\frac{81}{104}$$

Փոխարինեք \frac{81}{104}-ը y-ով x=-2y+\frac{5}{4}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-2\times \frac{81}{104}+\frac{5}{4}$$

Բազմապատկեք -2 անգամ \frac{81}{104}:

$$x=-\frac{81}{52}+\frac{5}{4}$$

Գումարեք \frac{5}{4} -\frac{81}{52}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-\frac{4}{13}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{4}{13},y=\frac{81}{104}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել 2-ը երկու կողմերում:

$$2x+4y=\frac{1}{2}+2$$

Գումարեք \frac{1}{2} և 2 և ստացեք \frac{5}{2}:

$$2x+4y=\frac{5}{2}$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 8 y-\frac{1}{2}-ով բազմապատկելու համար:

$$8y-4=9\left(x+1\right)-4$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 9 x+1-ով բազմապատկելու համար:

$$8y-4=9x+9-4$$

Հանեք 4 9-ից և ստացեք 5:

$$8y-4=9x+5$$

Հանեք 9x երկու կողմերից:

$$8y-4-9x=5$$

Հավելել 4-ը երկու կողմերում:

$$8y-9x=5+4$$

Գումարեք 5 և 4 և ստացեք 9:

$$8y-9x=9$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+4y=\frac{5}{2},-9x+8y=9$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-4\left(-9\right)}&-\frac{4}{2\times 8-4\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{2\times 8-4\left(-9\right)}&\frac{2}{2\times 8-4\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&-\frac{1}{13}\\\frac{9}{52}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times \frac{5}{2}-\frac{1}{13}\times 9\\\frac{9}{52}\times \frac{5}{2}+\frac{1}{26}\times 9\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}\\\frac{81}{104}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{4}{13},y=\frac{81}{104}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել 2-ը երկու կողմերում:

$$2x+4y=\frac{1}{2}+2$$

Գումարեք \frac{1}{2} և 2 և ստացեք \frac{5}{2}:

$$2x+4y=\frac{5}{2}$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 8 y-\frac{1}{2}-ով բազմապատկելու համար:

$$8y-4=9\left(x+1\right)-4$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 9 x+1-ով բազմապատկելու համար:

$$8y-4=9x+9-4$$

Հանեք 4 9-ից և ստացեք 5:

$$8y-4=9x+5$$

Հանեք 9x երկու կողմերից:

$$8y-4-9x=5$$

Հավելել 4-ը երկու կողմերում:

$$8y-9x=5+4$$

Գումարեք 5 և 4 և ստացեք 9:

$$8y-9x=9$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+4y=\frac{5}{2},-9x+8y=9$$

2x-ը և -9x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -9-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$-9\times 2x-9\times 4y=-9\times \frac{5}{2},2\left(-9\right)x+2\times 8y=2\times 9$$

Պարզեցնել:

$$-18x-36y=-\frac{45}{2},-18x+16y=18$$

Հանեք -18x+16y=18 -18x-36y=-\frac{45}{2}-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-18x+18x-36y-16y=-\frac{45}{2}-18$$

Գումարեք -18x 18x-ին: -18x-ը և 18x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-36y-16y=-\frac{45}{2}-18$$

Գումարեք -36y -16y-ին:

$$-52y=-\frac{45}{2}-18$$

Գումարեք -\frac{45}{2} -18-ին:

$$-52y=-\frac{81}{2}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -52-ի:

$$y=\frac{81}{104}$$

Փոխարինեք \frac{81}{104}-ը y-ով -9x+8y=9-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-9x+8\times \frac{81}{104}=9$$

Բազմապատկեք 8 անգամ \frac{81}{104}:

$$-9x+\frac{81}{13}=9$$

Հանեք \frac{81}{13} հավասարման երկու կողմից:

$$-9x=\frac{36}{13}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -9-ի:

$$x=-\frac{4}{13}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{4}{13},y=\frac{81}{104}$$