Լուծեք {l}{2x+y=9}{2x+3y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 9 } \\ { 2 x + 3 y = 2 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{25}{4} = 6\frac{1}{4} = 6.25$$

$$y = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+y=9,2x+3y=2$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+y=9$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-y+9$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+9\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -y+9:

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}$$

Փոխարինեք \frac{-y+9}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x+3y=2:

$$2\left(-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}\right)+3y=2$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{-y+9}{2}:

$$-y+9+3y=2$$

Գումարեք -y 3y-ին:

$$2y+9=2$$

Հանեք 9 հավասարման երկու կողմից:

$$2y=-7$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$y=-\frac{7}{2}$$

Փոխարինեք -\frac{7}{2}-ը y-ով x=-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{7}{2}\right)+\frac{9}{2}$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{2} անգամ -\frac{7}{2}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=\frac{7}{4}+\frac{9}{2}$$

Գումարեք \frac{9}{2} \frac{7}{4}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{25}{4}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{25}{4},y=-\frac{7}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+y=9,2x+3y=2$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-2}&-\frac{1}{2\times 3-2}\\-\frac{2}{2\times 3-2}&\frac{2}{2\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 9-\frac{1}{4}\times 2\\-\frac{1}{2}\times 9+\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{4}\\-\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{25}{4},y=-\frac{7}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+y=9,2x+3y=2$$

Հանեք 2x+3y=2 2x+y=9-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2x-2x+y-3y=9-2$$

Գումարեք 2x -2x-ին: 2x-ը և -2x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$y-3y=9-2$$

Գումարեք y -3y-ին:

$$-2y=9-2$$

Գումարեք 9 -2-ին:

$$-2y=7$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$y=-\frac{7}{2}$$

Փոխարինեք -\frac{7}{2}-ը y-ով 2x+3y=2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$2x+3\left(-\frac{7}{2}\right)=2$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -\frac{7}{2}:

$$2x-\frac{21}{2}=2$$

Գումարեք \frac{21}{2} հավասարման երկու կողմին:

$$2x=\frac{25}{2}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{25}{4}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{25}{4},y=-\frac{7}{2}$$