Լուծեք {l}{2x+y=8}{2x+3y=22}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 8 } \\ { 2 x + 3 y = 22 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=7$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+y=8,2x+3y=22$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+y=8$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-y+8$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+8\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -y+8:

$$x=-\frac{1}{2}y+4$$

Փոխարինեք -\frac{y}{2}+4-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x+3y=22:

$$2\left(-\frac{1}{2}y+4\right)+3y=22$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -\frac{y}{2}+4:

$$-y+8+3y=22$$

Գումարեք -y 3y-ին:

$$2y+8=22$$

Հանեք 8 հավասարման երկու կողմից:

$$2y=14$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$y=7$$

Փոխարինեք 7-ը y-ով x=-\frac{1}{2}y+4-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{2}\times 7+4$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{2} անգամ 7:

$$x=-\frac{7}{2}+4$$

Գումարեք 4 -\frac{7}{2}-ին:

$$x=\frac{1}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{1}{2},y=7$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+y=8,2x+3y=22$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\22\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\22\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\22\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\22\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-2}&-\frac{1}{2\times 3-2}\\-\frac{2}{2\times 3-2}&\frac{2}{2\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\22\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\22\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 8-\frac{1}{4}\times 22\\-\frac{1}{2}\times 8+\frac{1}{2}\times 22\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\7\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{1}{2},y=7$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+y=8,2x+3y=22$$

Հանեք 2x+3y=22 2x+y=8-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2x-2x+y-3y=8-22$$

Գումարեք 2x -2x-ին: 2x-ը և -2x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$y-3y=8-22$$

Գումարեք y -3y-ին:

$$-2y=8-22$$

Գումարեք 8 -22-ին:

$$-2y=-14$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$y=7$$

Փոխարինեք 7-ը y-ով 2x+3y=22-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$2x+3\times 7=22$$

Բազմապատկեք 3 անգամ 7:

$$2x+21=22$$

Հանեք 21 հավասարման երկու կողմից:

$$2x=1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{1}{2},y=7$$