Լուծեք {l}{2x+y=6}{7x-y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 6 } \\ { 7 x - y = 5 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{11}{9} = 1\frac{2}{9} \approx 1.222222222$$

$$y = \frac{32}{9} = 3\frac{5}{9} \approx 3.555555556$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+y=6,7x-y=5$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+y=6$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-y+6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+6\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -y+6:

$$x=-\frac{1}{2}y+3$$

Փոխարինեք -\frac{y}{2}+3-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 7x-y=5:

$$7\left(-\frac{1}{2}y+3\right)-y=5$$

Բազմապատկեք 7 անգամ -\frac{y}{2}+3:

$$-\frac{7}{2}y+21-y=5$$

Գումարեք -\frac{7y}{2} -y-ին:

$$-\frac{9}{2}y+21=5$$

Հանեք 21 հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{9}{2}y=-16$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{9}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{32}{9}$$

Փոխարինեք \frac{32}{9}-ը y-ով x=-\frac{1}{2}y+3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{32}{9}+3$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{2} անգամ \frac{32}{9}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{16}{9}+3$$

Գումարեք 3 -\frac{16}{9}-ին:

$$x=\frac{11}{9}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{11}{9},y=\frac{32}{9}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+y=6,7x-y=5$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&1\\7&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\5\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&1\\7&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\7&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\7&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\7&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\5\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\7&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\5\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\7&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-7}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-7}\\-\frac{7}{2\left(-1\right)-7}&\frac{2}{2\left(-1\right)-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{7}{9}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\5\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 6+\frac{1}{9}\times 5\\\frac{7}{9}\times 6-\frac{2}{9}\times 5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{9}\\\frac{32}{9}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{11}{9},y=\frac{32}{9}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+y=6,7x-y=5$$

2x-ը և 7x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 7-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$7\times 2x+7y=7\times 6,2\times 7x+2\left(-1\right)y=2\times 5$$

Պարզեցնել:

$$14x+7y=42,14x-2y=10$$

Հանեք 14x-2y=10 14x+7y=42-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$14x-14x+7y+2y=42-10$$

Գումարեք 14x -14x-ին: 14x-ը և -14x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$7y+2y=42-10$$

Գումարեք 7y 2y-ին:

$$9y=42-10$$

Գումարեք 42 -10-ին:

$$9y=32$$

Բաժանեք երկու կողմերը 9-ի:

$$y=\frac{32}{9}$$

Փոխարինեք \frac{32}{9}-ը y-ով 7x-y=5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$7x-\frac{32}{9}=5$$

Գումարեք \frac{32}{9} հավասարման երկու կողմին:

$$7x=\frac{77}{9}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$x=\frac{11}{9}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{11}{9},y=\frac{32}{9}$$