Լուծեք {l}{2x+y=4}{x-y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 4 } \\ { x - y = 5 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=3$$

$$y=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+y=4,x-y=5$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+y=4$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-y+4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+4\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -y+4:

$$x=-\frac{1}{2}y+2$$

Փոխարինեք -\frac{y}{2}+2-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x-y=5:

$$-\frac{1}{2}y+2-y=5$$

Գումարեք -\frac{y}{2} -y-ին:

$$-\frac{3}{2}y+2=5$$

Հանեք 2 հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{3}{2}y=3$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{3}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-2$$

Փոխարինեք -2-ը y-ով x=-\frac{1}{2}y+2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{2}\left(-2\right)+2$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{2} անգամ -2:

$$x=1+2$$

Գումարեք 2 1-ին:

$$x=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=3,y=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+y=4,x-y=5$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&\frac{2}{2\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 4+\frac{1}{3}\times 5\\\frac{1}{3}\times 4-\frac{2}{3}\times 5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=3,y=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+y=4,x-y=5$$

2x-ը և x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$2x+y=4,2x+2\left(-1\right)y=2\times 5$$

Պարզեցնել:

$$2x+y=4,2x-2y=10$$

Հանեք 2x-2y=10 2x+y=4-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2x-2x+y+2y=4-10$$

Գումարեք 2x -2x-ին: 2x-ը և -2x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$y+2y=4-10$$

Գումարեք y 2y-ին:

$$3y=4-10$$

Գումարեք 4 -10-ին:

$$3y=-6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$y=-2$$

Փոխարինեք -2-ը y-ով x-y=5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x-\left(-2\right)=5$$

Հանեք 2 հավասարման երկու կողմից:

$$x=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=3,y=-2$$