Լուծեք {l}{2x+y=12}{3x-2y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 12 } \\ { 3 x - 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{32}{7} = 4\frac{4}{7} \approx 4.571428571$$

$$y = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7} \approx 2.857142857$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+y=12,3x-2y=8$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+y=12$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-y+12$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+12\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -y+12:

$$x=-\frac{1}{2}y+6$$

Փոխարինեք -\frac{y}{2}+6-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x-2y=8:

$$3\left(-\frac{1}{2}y+6\right)-2y=8$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -\frac{y}{2}+6:

$$-\frac{3}{2}y+18-2y=8$$

Գումարեք -\frac{3y}{2} -2y-ին:

$$-\frac{7}{2}y+18=8$$

Հանեք 18 հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{7}{2}y=-10$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{7}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{20}{7}$$

Փոխարինեք \frac{20}{7}-ը y-ով x=-\frac{1}{2}y+6-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{20}{7}+6$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{2} անգամ \frac{20}{7}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{10}{7}+6$$

Գումարեք 6 -\frac{10}{7}-ին:

$$x=\frac{32}{7}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{32}{7},y=\frac{20}{7}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+y=12,3x-2y=8$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3}&-\frac{1}{2\left(-2\right)-3}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 12+\frac{1}{7}\times 8\\\frac{3}{7}\times 12-\frac{2}{7}\times 8\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{32}{7}\\\frac{20}{7}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{32}{7},y=\frac{20}{7}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+y=12,3x-2y=8$$

2x-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$3\times 2x+3y=3\times 12,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 8$$

Պարզեցնել:

$$6x+3y=36,6x-4y=16$$

Հանեք 6x-4y=16 6x+3y=36-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$6x-6x+3y+4y=36-16$$

Գումարեք 6x -6x-ին: 6x-ը և -6x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$3y+4y=36-16$$

Գումարեք 3y 4y-ին:

$$7y=36-16$$

Գումարեք 36 -16-ին:

$$7y=20$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$y=\frac{20}{7}$$

Փոխարինեք \frac{20}{7}-ը y-ով 3x-2y=8-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x-2\times \frac{20}{7}=8$$

Բազմապատկեք -2 անգամ \frac{20}{7}:

$$3x-\frac{40}{7}=8$$

Գումարեք \frac{40}{7} հավասարման երկու կողմին:

$$3x=\frac{96}{7}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{32}{7}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{32}{7},y=\frac{20}{7}$$