Լուծեք {l}{2x+y=-1}{-x-y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = - 1 } \\ { - x - y = - 5 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-6$$

$$y=11$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+y=-1,-x-y=-5$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+y=-1$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-y-1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-1\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -y-1:

$$x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}$$

Փոխարինեք \frac{-y-1}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -x-y=-5:

$$-\left(-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)-y=-5$$

Բազմապատկեք -1 անգամ \frac{-y-1}{2}:

$$\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}-y=-5$$

Գումարեք \frac{y}{2} -y-ին:

$$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=-5$$

Հանեք \frac{1}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{11}{2}$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը -2-ով:

$$y=11$$

Փոխարինեք 11-ը y-ով x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{2}\times 11-\frac{1}{2}$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{2} անգամ 11:

$$x=\frac{-11-1}{2}$$

Գումարեք -\frac{1}{2} -\frac{11}{2}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-6$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-6,y=11$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+y=-1,-x-y=-5$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&1\\-1&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1-5\\-\left(-1\right)-2\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-6,y=11$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+y=-1,-x-y=-5$$

2x-ը և -x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$-2x-y=-\left(-1\right),2\left(-1\right)x+2\left(-1\right)y=2\left(-5\right)$$

Պարզեցնել:

$$-2x-y=1,-2x-2y=-10$$

Հանեք -2x-2y=-10 -2x-y=1-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-2x+2x-y+2y=1+10$$

Գումարեք -2x 2x-ին: -2x-ը և 2x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-y+2y=1+10$$

Գումարեք -y 2y-ին:

$$y=1+10$$

Գումարեք 1 10-ին:

$$y=11$$

Փոխարինեք 11-ը y-ով -x-y=-5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-x-11=-5$$

Գումարեք 11 հավասարման երկու կողմին:

$$-x=6$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$x=-6$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-6,y=11$$